单位根

单位根（unit root）设n 是正整数，当一个数的n 次乘方等于1 时，称此数为n 次“单位根”。在复数范围内，n 次单位根有n 个。例如，1、－1、i、－i 都是4次单位根。确切的说，单位根指模为1的根，一般的x^n=1的n个根可以表示为： x=cos（2kπ/n)+sin（2kπ/n)i ，其中：k=0,1,2,..,n-1 ，i是虚数的单位。

基本内容

单位根单位根（unit root）设n 是正整数，当一个数的n 次乘方等于1 时，称此数为n 次“单位根”。在复数范围内，n 次单位根有n 个。例如，1、－1、i、－i 都是4次单位根。确切的说，单位根指模为1的根，一般的的n个根可以表示为:，其中: ，i是虚数的单位。它的生成元是单位的n次本源根。单位的n次本源根是，其中k和n互质。单位的n次本源根数目为欧拉函数。

本原根

单位的n次根以乘法构成n阶循环群。它的生成元是单位的n次本原根。单位的n次本原根是，其中k和n互质。单位的n次本原根数目为欧拉函数

单位的一次根有一个：1。

单位的二次根有两个：+1和-1，只有-1是本原根。

单位的三次根是

其中i复数单位；除1外都是本原根。

单位的四次根是

其中 + i和 - i是本原根。

这方程的复数根 z为n次单位根。

一些性质

性质一

n次单位根的模为1，即

性质二

两个n次单位根εj与εk 的乘积还是一个n次单位根，且推论

推论2：

推论3：

若k除以n的余数为r，则

注：它说明εk等价于r=0

推论4：

任何一个单位根都可以写成的幂，即

说明：除了，还有没有另一个单位根使任何一个单位根都是εk的幂，回答是肯定的，并称这样的根为n次本原根，n次原根。从而所有n次单位根还可以写作

推论5：

一个n次单位根的共轭也是一个n次单位根，即（‘表示共轭）

因为，（由推论3）

注：由上证明看到，说明所有虚的n次单位根都成对共轭

推论6：

对任意整数k,h，有

性质三

当时，，否则

证明：由性质二推论4有

推论1：（i从0到n-1）

推论2：设，则（i从0到n-1）

证明：由，故n不整除k，由性质二推论4和性质三，

（i从0到n-1） （i从0到n-1）

性质四

全部单位根将复平面上单位圆n等分

性质的应用

见图册（黑图）

其中用到了一个关于n次单位根的性质（白图性质3）

参考资料

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