保罗·寇恩
保罗·寇恩（Paul Joseph Cohen，1934年4月2日---2007年3月23日) 美国数学家，他证明策梅洛-弗兰克尔公理系统加上选择公理 (ZFC) 不能反驳连续统假设 (CH) 的否命题，而 ZF 不能反驳选择公理 (AC) 的否命题。这一划时代的工作与哥德尔在1930年代的工作一起，证明了 CH 和 AC 分别独立于 ZFC 和 ZF。寇恩在证明中创造了力迫法，如今力迫法已经成为公理集合论的一项基本技术。寇恩凭借连续统假设的独立性证明于1966年获得菲尔兹奖章。
人物经历
保罗·寇恩生于美国新泽西州长滩（Long Branch）的一个犹太家庭，并在纽约市的布鲁克林区长大。1950年毕业于纽约的 Stuyvesant 高中。 1950年寇恩入读纽约市立大学布鲁克林学院。不过他了解到申请芝加哥大学的研究生院只需两年大学经历，因此于1953年从纽约城市大学布鲁克林学院肄业。1954年寇恩在芝加哥大学取得硕士学位，1958年他在 Antoni Zygmund 的指导下获得博士学位。寇恩的博士论文题为《三角级数唯一性理论的一些问题》（Topics in the Theory of Uniqueness of Trigonometric Series）。
1957-1959年，在获得博士学位之前曾先后执教于罗彻斯特大学和麻省理工学院。
1959-1961年，普林斯顿高等研究院博士后研究员。
1961年，获聘为斯坦福大学数学系助理教授。
1962年，升任斯坦福大学数学系副教授，同年获得 Sloan 基金奖励。
1963年，凭借连续统假设的独立性证明获得 Research Corp. 奖。
1964年，升任斯坦福大学数学系教授。
1966年，获得菲尔兹奖章。
1967年，获得国家科学奖章。
2004年，从斯坦福大学退休，但任教直至2007年春季。
2007年3月23日因病在斯坦福医院去世，享年72岁。
成就与贡献
保罗·科恩因发展了一种称为“强制”的数学技术而闻名，他利用这种技术证明了连续统假设（CH）和选择公理（AC）都无法从标准的策梅洛-弗兰克尔公理集（ZF）中证明。与库尔特·卡塞雷斯早期的工作相结合，这表明这两个陈述在ZF公理中是逻辑独立的：这些陈述既不能从这些公理中证明也不能证伪。从这个意义上说，连续统假设是不可判定的，它是标准ZF集合论中独立于公理的最广为人知的例子。沃尔特·科恩的工作不仅在数学史上具有里程碑意义，而且他的方法和理论至今仍对数学研究产生深远影响。
生前是美国国家科学院和美国艺术科学院（American Academy of Arts and Sciences）的院士。寇恩的博士论文和早期的研究内容是调和分析。1964年寇恩凭借数学分析论文《关于李特尔伍德猜想和幂等测度》（On a conjecture of Littlewood and idempotent measures）获得美国数学学会颁发的博修奖（Bôcher Memorial Prize）。1960年代初，寇恩开始对连续统假设感兴趣。最终他发明了力迫法。在 ZF 协调的假设下，他运用力迫法构造了一个 ZFC 的模型 M，M 不满足 CH，因此 ZFC 不能证明 CH。另外，同样在 ZF 协调的假设下，寇恩运用力迫法扩张一个给定的 ZFC 模型 M 得到 M[G]，然后取 M[G] 的一个子模型 N，N 满足 ZF、然而不满足 AC。寇恩的这两项工作和哥德尔在1930年代的工作一起，证明了 CH 独立于 ZFC 而 AC 独立于 ZF，因此 CH 是 ZFC 上的一个不可判定问题。凭借 CH 的独立性证明，寇恩于1966年获得菲尔兹奖章，并于1967年获得国家科学奖章。直至今天，寇恩的菲尔兹奖奖章依然是数理逻辑界获得的唯一一枚菲尔兹奖章。寇恩生前是斯坦福大学的教授，也是一位出色的教师，他指导的博士生彼得·萨纳克（Peter Sarnak）是一位杰出的数学家、美国科学院院士和英国皇家学会会士。
连续统假设
据说在研究连续统假设的过程中，寇恩曾经感到其他数学家认为没有希望解决这个问题，因为当时没有构造集合论模型的新方法。1985年寇恩接受采访时提到，人们甚至认为考虑这个问题的人多少有点疯狂。寇恩的独立性证明引入了力迫法，如今力迫法成为一项强有力的技术，不计其数的数学家们运用这一方法构造模型，检验给定的假设可否与不同的公理系统协调。在研究连续统假设的过程中，沃尔特·科恩曾经感到其他数学家认为没有希望解决这个问题，因为当时没有构造集合论模型的新方法。然而，他的独立性证明引入了力迫法，这一技术如今已成为公理集合论的一项基本技术，被无数数学家用于构造模型，检验给定的假设是否与不同的公理系统协调。科恩在2006年库尔特·卡塞雷斯百年纪念大会上发表了一场关于连续统假设问题的讲座，展示了他在这一领域的深刻见解。
伦敦玛丽皇后大学的安格斯·麦金泰尔评价科恩：“他非常聪明，要把自己最困难的问题交给我在60年代认识的保罗，你必须很天真或者非常无私。”他将科恩与库尔特·哥德尔相比，称：“在这个学科的历史上，没有比他们的工作更引人注目的事情了。”哥德尔本人在1963年给科恩写了一封信，其中的草稿写道：“让我重申，阅读你对连续假设独立性的证明真的是一种乐趣。我认为在所有重要的方面，你已经给出了最好的证明，这种情况并不经常发生。阅读你的证明对我产生了一种看到一部真正好的戏剧的愉快效果。”
参考资料
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