海伦三角形

海伦三角形（Heron triangle）

一种特殊三角形。指边长为连续的三个正整数。而且其面积也是正整数的三角形。是海伦（Heron）研究海伦公式得到的一种特殊情况。例如：边长为3,4,5 ；13,14,15 ；51,52,53 ；193,194,195 等的三角形均为海伦三角形。（引自《数学辞海（第一卷）》133页）。

注意：海伦的三角形求积公式不是海伦三角形的求积公式。

需要注意的是：海伦提出的三角形面积计算公式，与海伦三角形不同。海伦计算三角形面积公式是通用的，我国秦九韶提出与海伦公式等价的三斜晶系求积公式。因此，也称为海伦-秦九韶求积公式。

基本定义不同，以下或可称为广义海伦三角形，可做参考。

如果一个三角形的三边长都是正整数，而且它的面积也是整数，这样的三角形称为海伦三角形。

性质

任何边长为勾股数组的三角形都是海伦三角形，因为边长都是整数，而它的面积是两个直角边的积的一半，所以是有理数。

一个不含直角的海伦三角形的例子，是边长为5、5和6的三角形，它的面积是12。这个三角形可由两个边长为3、4和5的直角三角形拼合而成。这种方法一般都是有效的。我们取两个边长分别为（ a， b， c）和（ a， d， e）的直角三角形，并把它们拼合起来，便得到一个边长为 c、 e和 的三角形，其面积为：

　那么是不是任何海伦三角形都可以由两个边长为整数的直角三角形拼合而成呢？答案是否定的。例如边长为0.5、0.5和0.6的海伦三角形，就不能分割成边长为整数的两个较小的三角形。边长为5、29、30的三角形（面积为72）也不行，因为它的任何一个高都不是整数。但是，任何海伦三角形都可以由两个边长为 有理数的直角三角形拼合而成。

定理

给定一个海伦三角形，总可以把它分割成两个边长为有理数的直角三角形。

海伦三角形的公式

利用以下的公式，可以得出所有的海伦三角形：

其中m，n和k是有理数。

海伦三角形面积公式

设三角形ABC三边长为a、b、c

则

参考资料

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