本原元素定理

在数学中，本原元素定理精确刻画了什么时候对于一个域扩张E/F，E可以表示为F(α)的形式，即E可以由单个元素生成。

简介

本原元素定理(the theorem of the primitive e1-ement)是判定单扩张的重要命题，是对代数扩张在什么条件下为单扩张问题的一个广泛回答。若是域F的代数扩域，为F上可分元，则存在一个元素使得，其中B称为本原元素。特别地，有限次可分扩域必为单扩域，此为本原元素定理。施泰尼茨\u003cSteinitz, E.)给出更一般的定理：有限次扩张是单扩张的充分必要条件为其中间域的个数有限。

定理

一个有限扩张有本原元，即存在α使得，当且仅当E和F之间只有有限个中间域。

证明

如果F是有限域，由于是有限扩张，推得E也是有限域。但是由于有限域的乘法群是循环群，任取这个乘法群的一个生成元，E可以由这个生成元生成。所以在F是有限域的情况下，定理左右两边恒为真。

如果F是无限域，但是只有有限个中间域。先证明一个引理：假设并且E和F之间只有有限个中间域，那么存在一个使得。

引理的证明如下：当c取遍F的时候，对于每一个c可以做一个中间域。但是由假设，只有有限个中间域，因此必定存在， ，使得。由于都在这个域里，推得也在这个域里。由于，推得β在这个域里，于是α也在这个域里，因此是的子集，是的子集，于是。引理证毕。

由于有限扩张总是有限生成的，推得（对于）。利用归纳法以及引理可以得出，如果E/F之间只有有限个中间域，那么E可以由单个元素生成。

而如果，假设是α在F上的极小多项式，K是任意一个中间域，是α在K上的极小多项式。显然g(x)整除f(x)，由于域上的多项式环是唯一分解环，f(x)只有有限个因子。而对于每一个g(x)整除f(x)，如果g(x)写作

并令

显然K是K的一个子域，因此在上依然是不可约的。而同时，因此可以得到

这样立即推，于是任何一个中间域K对应唯一的一个f(x)的因子g。于是中间域个数小于因子的个数。但因子个数是有限的，因此中间域个数有限。证毕。

本原多项式

本原多项式是近世代数中的一个概念，是唯一分解整环上满足所有系数的最大公因数为1的多项式。本原多项式不等于零，与本原多项式相伴的多项式仍为本原多项式。

定义

设

是唯一分解整环D上的多项式，如果，则称f(x)为D上的一个本原多项式。（符号表示最大公约数）

本原多项式满足以下条件：

1）f(x)是既约的，即不能再分解因式；

2）f(x)可整除，这里的；

3）f(x)不能整除，这里。

定理

高斯引理：本原多项式的乘积还是本原多项式。

参考资料

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