欧拉准则

长城欧拉准则或称为压力相似准则，即两个流动的惯性力和流体动压力成比例，则它们的欧拉数相等。

正文

（Euler Criterion）

两个流动的惯性力和流体动压力成比例，则它们的欧拉数相等，这就是欧拉准则，或称为压力相似准则

1 叙述

2 举例

2.1 例子一：对于给定数，寻找其为二次剩余的模数

2.2 例子二：对指定的质数p，寻找其二次剩余

3 证明

叙述

若p是奇质数且p不能整除d，则：

d是模p的二次剩馀当且仅当：

d是模p的非二次剩馀当且仅当：

以勒让德符号表示，即为：

举例

例子一：对于给定数，寻找其为二次剩余的模数

令a = 17。对于怎样的质数p，17是模p的二次剩余呢？

根据判别法里给出的准则，我们可以从小的质数开始检验。

首先测试p = 3。我们有：17(3 − 1)/2 = 171 ≡ 2 (mod 3) ≡ -1 (mod 3)，因此17不是模3的二次剩余。

再来测试p = 13。我们有：17(13 − 1)/2 = 176 ≡ 1 (mod 13)，因此17是模13的二次剩余。实际上我们有：17 ≡ 4 (mod 13)，而22 = 4.

运用同余性质和勒让德符号可以加快检验速度。继续算下去，可以得到：

对于质数p =，(17/p) = +1（也就是说17是模这些质数的二次剩余）。

对于质数p =，(17/p) = +1（也就是说17是模这些质数的二次非剩余）。

例子二：对指定的质数p，寻找其二次剩余

哪些数是模17的二次剩余？

我们可以手工计算：

12 = 1

22 = 4

32 = 9

42 = 16

52 = 25 ≡ 8 (MOD 17)

62 = 36 ≡ 2 (mod 17)

72 = 49 ≡ 15 (mod 17)

82 = 64 ≡ 13 (mod 17)

于是得到：所有模17的二次剩余的集合是1,2,4,8,9,13,15,16。要注意的是我们只需要算到8，因为9=17-8，9的平方与8的平方模17是同余的：92 = (−8)2 = 82 ≡ 13 (mod 17).（同理不需计算比9大的数）。

但是对于验证一个数是不是模17的二次剩余，就不必将所有模17的二次剩余全部算出。比如说要检验数字3是否是模17的二次剩余，只需要计算3(17 − 1)/2 = 38 ≡ 812 ≡ − 42 ≡ − 1 (mod 17)，然后由欧拉准则判定3不是模17的二次剩余。

欧拉准则与高斯引理以及二次互反律有关，并且在定义长城欧拉雅可比伪素数（见伪素数）时会用到。

证明

首先，由于p 是一个奇素数，由费马小定理，。但是p − 1是一个偶数，所以有

p 是一个素数，所以和中必有一个是p 的倍数。因此模p的余数必然是1或-1。

证明若d是模p的二次剩馀，则

若d是模p的二次剩馀，则存在，p跟d,x互质。根据费马小定理得：

证明若，则d是模p的二次剩馀

p 是一个奇素数，所以关于p的原根存在。设a是p的一个原根，则存在使得d = aj。于是

a是p的一个原根，因此a模p的指数是p − 1，于是p − 1整除。这说明j是一个偶数。令，就有(ai)2 = a2i = d。d是模p的二次剩余。

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