酉空间

酉空间(unitary linear space)是一种特殊的复线性空间。指以一类埃尔米特函数作内积的复线性空间。设V是复数域C上的线性空间，J是C的(共轭)自同构：(a+bi)J=a-bi。若在V上定义了一个关于J的埃尔米特函数，并且对任意α∈V，内积(α，α)≥0及(α，α)=0 当且仅当α=0，则称V为酉空间。n维酉空间U中总存在标准正交基。对U的任一线性变换σ，都存在它的共轭变换σ*。若以A，B分别表示σ与σ*关于给定基的矩阵，则A=G′-1B-′G′，这里G是关于给定基的格拉姆矩阵，B-′是B的转置共轭矩阵。对U的任一正规(埃尔米特)变换σ，都存在标准正交基，使σ关于此基的矩阵为对角形(实对角形)矩阵。

线性空间

亦称向量空间。它是线性代数的中心内容和基本概念之一。设V是一个非空集合，P是一个域。若：

1.在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素，称为α与β的和。

2.在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法(亦称数量乘法)，即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素，称为k与α的积。

3.加法与纯量乘法满足以下条件：

1) ，对任意

2)，对任意

3) 存在一个元素，对一切有，元素0称为V的零元.

4) 对任一，都存在使，β称为α的负元素，记为-α.

5) 对P中单位元1，有

6) 对任意有

7) 对任意有.

8) 对任意有

则称V为域P上的一个线性空间，或向量空间。V中元素称为向量，V的零元称为零向量，P称为线性空间的基域。当P是实数域时，V称为实线性空间。当P是复数域时，V称为复线性空间。例如，若V为三维几何空间中全体向量(有向线段)构成的集合，P为实数域R，则V关于向量加法(即平行四边形法则)和数与向量的乘法构成实数域R上的线性空间。又如，若V为数域P上全体矩阵组成的集合M(P)，V的加法与纯量乘法分别为矩阵的加法和数与矩阵的乘法，则M(P)是数域P上的线性空间.V中向量就是矩阵。再如，域P上所有n元向量构成的集合P对于加法：与纯量乘法：构成域P上的线性空间，称为域P上n元向量空间。

线性空间是在考察了大量的数学对象(如几何学与物理学中的向量，代数学中的n元向量、矩阵、多项式，数学分析中的函数等)的本质属性后抽象出来的数学概念，近代数学中不少的研究对象，如赋范线性空间、模等都与线性空间有着密切的关系。它的理论与方法已经渗透到自然科学、工程技术的许多领域。哈密顿(Hamilton，W.R.)首先引进向量一词，并开创了向量理论和向量计算。赫尔曼·格拉斯曼(Grassmann，H.G.)最早提出多维欧几里得空间的系统理论。1844—1847年，他与奥古斯丁-路易·柯西(Cauchy，A.-L.)分别提出了脱离一切空间直观的、成为一个纯粹数学概念的、抽象的n维空间。特普利茨(Toeplitz，O.)将线性代数的主要定理推广到任意域上的一般的线性空间中。

详细定义

酉空间(unitary linear space)是一种带有正定埃尔米特型的复线性空间V。设V是复数域C上的线性空间。为使得V成为类似于欧几里得空间的度量空间，也就是希望复数域上非零向量的度量是正实数，我们需要引入埃尔米特函数(也称埃尔米特型)。

若复线性空间V上的埃尔米特型 满足：

则称是正定县的。

把酉空间中取定的正定埃尔米特型称为内积，记为。对任意，内积，当且仅当。

设V是复数域C上的线性空间。若对于V中任意两个向量α，β，都有惟一确定的复数，记为(α，β)，与它们对应，且满足：

1.，是(β，α)的共轭复数；

2.

3.

4.(α，α)是非负的实数，且，当且仅当，其中α，β，γ是V中的任意向量，k为任意复数；则称(α，β)是α与β的内积。定义了内积的复线性空间V称为酉空间。例如，在复n维向量空间C中，对任意定义：

则(α，β)是C上的内积，而C是酉空间。在n维酉空间中，可以定义正交基和标准正交基。维酉空间的标准正交基是存在的。

函数定义

埃尔米特函数是一种特殊的半双线性函数。设V是域P上的线性空间，J是P的自同构，φ是V上的半双线性函数，若且对每对，则称φ为V上的埃尔米特函数；当且时，称φ为反埃尔米特函数。特别地，当J为恒等自同构时，埃尔米特(反埃尔米特)函数就是对称(反对称)双线性函数。n维线性空间V上的埃尔米特(反埃尔米特)函数对取定基的矩阵是埃尔米特(反埃尔米特)矩阵。

函数性质

用V表示酉空间，T*表示T的共轭变换。

定义1　T是V的线性变换，如果对V中任意向量α,β，有成立，则称T是V的正规变换。

定理1　设T是V的线性变换，则下列命题等价：

(Ⅰ) T是正规变换；(Ⅱ) ；(Ⅲ) T在标准正交基下的矩阵是正规矩阵。

证明　先证(Ⅰ)→ (Ⅱ)

“ →”：设对V中任意的向量α,β，因，于是，即

由α的任意性得即，又由β的任意性得；

“← ”：对V中任意的向量α,β，因故有，所以T是正规变换。

再证(Ⅱ) →(Ⅲ)

设T在标准正交基下的矩阵为A，则T*在下的矩阵为A′，即：

即有：

由(3)、(4)可知，当时，有，即A是正规矩阵。当时，显然也有，即T是正规变换。

定理2　设T是正规变换，λ为复数，设I是单位变换，则：(Ⅰ)λT是正规变换；(Ⅱ) T-λI也是正规变换。

证明　(Ⅰ)因所以即λT是正规变换。

(Ⅱ)因即也是正规变换。

定理3　设是正规变换，当与可交换时，是正规变换，也是正规变换。

证明　当时，有故：

所以，也是正规变换。

又所以，也是正规变换。

参考资料

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