等价关系
等价关系（英语：Equivalence relation），也称为同值关系，是集合上的一种特殊的二元关系，它同时具有自反性、对称性和传递性。等价关系在数学中有广泛的应用，例如整数集上的同余、欧氏几何中的等量以及平凡的相等关系。通过等价关系可以将集合划分为不相交的等价类，从而简化问题的复杂度。在软件测试中，等价关系可用于选择测试用例。
定义
设R是集合A上的一个二元关系，若R满足以下条件：
自反性：∀a∈A, (a,a)∈R
对称性：∀a,b∈A, (a,b)∈R ∧ a≠b =\u003e (b,a)∈R
传递性：∀a,b,c∈A, (a,b)∈R ∧ (b,c)∈R =\u003e (a,c)∈R
则称R是定义在A上的一个等价关系。若(a,b)∈R，则称a等价于b，记作a~b。等价关系通常用符号~表示。
应用
等价关系可以用于划分集合，形成等价类，并通过等价类简化问题。
例一：
同班同学关系、同乡关系是等价关系。
平面几何中三角形间的相似关系、全等关系都是等价关系。
平面几何中直线间的平行关系是等价关系。
例二：
设A={1,4,7}，定义A上的关系R如下：
R={(a,b)|a,b∈A ∧ a≡b MOD 3}
其中a≡b mod 3表示a与b模3同余，即a除以3的余数与b除以3的余数相等。R为A上的等价关系。另外，若f是从A到B的函数，定义A上的关系R：aRb当且仅当f(a)=f(b)，则R也是A上的等价关系。
例三：
设R为定义在集合A上的一个关系，若R是自反的、对称的和传递的，则称R为等价关系。设R为集合A上的等价关系，对任何a∈A,集合[a]={b|(a,b)∈R}称为元素a形成的等价类，其等价类集合{[a]|a∈A}，称作A关于R的商集，记作A/R。定理3.7.1设给定非空集合A上等价关系R，对于a,b∈A,有aRb当且仅当[a]=[b]。定理3.7.2集合A上的等价关系R，确定了A的一个划分，该划分就是商集A/R。定理3.7.3集合A的一个划分，确定A的元素间的一个等价关系。
事例
等价关系的例子
例如，设A={1,2,...,8}，定义A上的关系R如下：
xRy ⇔ ∀x,y∈A, x≡y (mod 3)
其中x≡y (mod 3)表示x与y模3同余。例子有1R4, 2R5, 3R6。R为A上的等价关系。
不是等价关系的关系的例子
并非所有的二元关系都是等价关系。例如，实数之间的"≥"关系满足自反性和传递性，但不满足对称性。例如，7 ≥ 5 无法推出 5 ≥ 7，因此"≥"不是等价关系。它是一种全序关系。另一个反例是比较两个数中哪个较大的关系，它既没有自反性（任何一个数不能比自身为较大）也没有对称性（如果m\u003en，则不能有n\u003em）。