阿基米德公理
阿基米德公理（Archimedean axiom）又称阿基米德性质、欧多克索斯公理、度量公理，是经典几何中的重要命题，实数系的基本性质之一。
早在欧多克索（或译作多克索，欧多克索斯，约前4世纪上、中叶）的时代，阿基米德公理的相关知识已经存在。公元前3世纪，阿基米德在《论球与圆柱》一书中正式提出该公理的几何描述，“不等的线，不等的面，不等的体中，大的超过小的，以这样一种量，如当此量重复相加时，就能超过任何给定的量，只要这些量能和它比较。”后来，数学家们给出了公理在实数系中的定义，一般地，对于任意给定的两个正实数a、b，必存在自然数n，使得na \u003eb。阿基米德公理的重要性在19世纪充分体现出来。
实数系的阿基米德性质可以通过多种方法来证明。与公理类似的理论有实数系的完备性与稠密性定理，在有序域中，这些性质密切相关。在古代东方文化里，《墨经》中的“容尺”与阿基米德性质在思想上类似，但解决问题的侧重点却不同，阿基米德对于无穷概念避而不谈，体现出古希腊数学的发展具有时代和历史的局限性。
定义
几何定义
如图设和是任意两条线段，在射线上依序存在有限个点 ，使线段都合同于，并且使点在点和点之间。
在长短不同的两条线段中，无论较长的线段怎样长，较短的线段怎样短，总可以在较长的线段上连续截取较短的线段，并且截到某一次以后，必出现下面两种情况：
(1）没有剩余；
(2）得到一条短于较短线段的剩余线段。
实数系定义
如果，而是任意一个实数，则存在一个正整数，使得。
该定义具有下述等价形式：
历史
提出
早在欧多克索（或译作攸多克索，欧多克索斯，约前4世纪上、中叶）的时代，阿基米德公理的相关知识已经存在。公元前3世纪，阿基米德公理在古希腊数学家阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年）的杰作《论球与圆柱》中被正式提出，它作为《论球与圆柱》卷一中提出的第5条公理，其原文与如今现代化的表述有些差异，原文的表述为“不等的线，不等的面，不等的体中，大的超过小的，以这样一种量，如当此量重复相加时，就能超过任何给定的量，只要这些量能和它比较”。阿基米德给出了公理的几何表述，即两给定线段中较短线段延长足够多倍，必可超过较长线段。在该书中，他从定义和公理出发，推出了球和圆柱面积、体积等50多个命题；用几何方法解决了相当于三次方程x2(a-x)=b2c求解的问题，对后来的数学发展产生了重要影响。
发展
到了近代，阿基米德公理的重要性引发了一些争议和讨论。德国数学家戴维·希尔伯特（Hilbert,D.）在他的数学名著《几何基础》中，将阿基米德公理列为他的几何公理系统中的连续公理之一。一般地，阿基米德公理适用于很多的量：对于任意给定的两个正实数a、b，必存在自然数n，使得na \u003eb。它是算术和几何中的辗转相除法或辗转相截法的依据。阿基米德公理的重要性，是在19世纪发现了不适用这个公理的量，即所谓非阿基米德量之后，才充分显示出来。1960年，美籍德国数理逻辑学家鲁宾孙(Robinson,A.）提出的非标准实数域R，则是一种非阿基米德实数域。在R上可建立起微积分等各种现代数学学科，称为非标准分析、非标准数学，可见古老的阿基米德公理的深刻性。
证明
阿基米德环形山性质：对，若，则，使得。
证法一
设，其中 ，则。设，其中为第一个不为零的正整数。令，。
证法二
该公理还可以用反证法进行证明。假设结论不成立，即，则有上界，因此有上确界，且满足，也就有，或。这表明是集合的上界，与是其上确界矛盾，所以总存在，使。
类似理论
康托尔公理
在直线上给定了线段的无穷序列，其中每个后面的线段都在前一个线段的内部（可以有一端点重合）；而且不存在这样的线段，它在所有这些线段的内部，那么在直线上必存在而且只存在一个点属于所有线段 (为正整数）。
康托尔公理与阿基米德公理一起奠定了线段度量的理论基础。在建立欧氏几何的公理系统时，常用它替代直线完备公理而与阿基米德公理组成连续公理组。康托尔公理在实数理论中也有着特殊的作用。
实数的完备性基本定理
实数系的完备性（completeness of 巴西雷亚尔 number system) 指实数系对极限运算封闭，也指对实数使用由有理数构造实数的方法不能再得到新的数。与实数系的连续性一样，它是区分有理数系与实数系的关键性质。的完备性可以由奥古斯丁-路易·柯西准则（中的基本列必收敛于某一实数）刻画，也可以用区间套定理反映。在实数系的公理系统中，这两个定理用作完备性公理，与阿基米德公理合在一起刻画了实数的连续性。
确界原理
设为非空数集，若有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界。
区间套定理
若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得 ，即 。
柯西收敛准则
数列收敛的充要条件是：对任给的，存在正整数，使得当时，有。
实数系的稠密性
指任意两个不等的实数间有无穷个实数。即：若，则存在实数，使。也可以限定是有理数（或无理数），这样，在两个不等的实数间有无穷多个有理数与无穷多个无理数。
相关定理
定理1
一个有序域如果具有完备性，则必具有阿基米德性。
证明 ：用反证法。设为域中正元素，倘若序列中没有一项大于，则序列有上界（就是一个）。因而由完备性假设，存在的上确界，对一切自然数有，同时存在某个自然数，使。从而有 或，这与假设矛盾。所以完备的有序域必具有阿基米德性。
定理2
一个有序域，如果具有阿基米德性，则它的有理元素必在该域中稠密。即对有序域中任意两个不同的元素，在与之间必存在一个有理元素（从而存在无穷多个有理元素）。
证明：设为有序域中两个不同的元素，且。由阿基米德性，存在正整数，使得或。令，它是一个有理数，再任取一个有理数，在等差序列中，由阿基米德性总有某项大于，设在该序列中第一个大于的项为，则该数就是所求的有理数，即 。因为由的选择有，倘若，则这两个不等式相减将有，这与的定义矛盾，从而得证。
相关文化
《墨经》中的“容尺”与阿基米德公理
中国古代的《墨经》中就有涉及有限与无限的概念。如《墨经》的《经上》篇中有：“穷，或有前，不容尺也”； 《经说上》篇中有：“穷，或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也”。注家对其释义众说纷纭，其中一种看法是：释“穷”为尽，“或”为域，“尺”为长度或者尺度。
如果采用符号，则可以转化为下述的命题：
设为一射线或其上一段，＝一尺，那么，
（1）如果存在一个自然数，使得，则是有穷的；
（2）如果对于任意的自然数，都有，则是无穷的。
这个命题用一个度量单位来界定有穷与无穷，具有明显的数学意义，它给出了无穷大的一个成功定义，着眼于在承认无穷大概念的前提下如何揭示无穷大的本质，其认识深度达到了中国古代的高峰。《墨经》中的“容尺”与阿基米德公理相似，但也存在本质的区别。阿基米德公理避开了无穷概念，而把注意的焦点放在两个同类有限量之间的关系上，这留有古希腊由于对无穷的问题发生了困惑而极力避免使用无穷这个概念的古典传统的烙印。它是阿基米德用穷竭法证明几何问题的基础，尽管阿基米德后来在《方法论》（The Method）中使用不可分量来寻求解决问题的办法，但仍要用穷竭法来证明他的结论。