换位子群

在抽象代数中，一个群的换位子群或导群，是指由这个群的所有交换子所生成的子群，记作[G,G]、G′或G(1)。每个群都对应着一个确定的交换子群。在一个群G的所有正规子群中，交换子群G′是使得G对它的商群为交换群的最小子群。在某种意义上，交换子群提供了群G的可交换程度。因为从交换子的定义:，如果x与y交换，那么[x,y]=e。一个群内可交换的元素越多，交换子就越少，交换子群也就越小。可交换群的交换子群为平凡群e。

定义

给定一个群的交换子群或导群：或G是G的所有交

换子所生成的子群：

类似地可以定义高阶的导群。

,其中n是整数。

可以证明，如果存在自然数 n 使得 ，那么G是可解群。

商群是一个尼尔斯·阿贝尔群，叫做G的 阿贝尔化子群，通常记作G。G的阿贝尔化子群就是G的一阶同调群。

的群叫做 完美群，这是与阿贝尔群相对的概念。完美群的阿贝尔化子群是单位群。

性质

1.G'是G的正规子群。

2.G对于自同构稳定:。

3.如果H是G的子群，那么属于G'。

4.是一个满同态，那么。

5.如果H是G的正规子群，那么是交换群，当且仅G'当属于H'。

6.可交换。

应用

• 4次交替群的交换子群是克莱因四元群。

• n次对称群的交换子群是n次交替群。

• 四元群的交换子群是。

参考资料

Warning: Invalid argument supplied for foreach() in /www/wwwroot/newbaike.com/id.php on line 280