指数积分

在数学中，指数积分是函数的一种，它不能表示为初等函数。

定义

对任意实数，指数积分有下定义：

，这个积分必须用柯西主值来解释。

如果自变量是复数的情形，这个定义就变得模棱两可了。为了避免歧义，我们使用以下的记法：

如果，则

其中，

性质

收敛级数

其中γ是欧拉常数。

渐进（发散）级数

自变量的值较大时，用以上的收敛级数来计算指数积分是困难的。在这种情况下，我们可以使用发散（或渐近）级数：

指数和对数的表现

E1在自变量较大时的表现类似指数函数，自变量较小时类似对数函

数。

这个不等式的左端在图中用红色曲线来表示，中间的黑色曲线是E1(x)，不等式的右端用蓝色曲线来表示。

与其它函数的关系

指数积分与对数积分li(x)的关系：

另外一个有密切关系的函数，具有不同的积分限：

可以延伸到负数：

我们可以把两个函数都用整函数来表示：

此函数的性质：

指数积分还可以推广为：

导数

函数En与E1的导数有以下简单的关系：

然而，这里假设了n是整数；复数n的推广还没有在文献中报导，虽然这种推广是有可能的。

复变量的指数积分

从定义中可以看出，指数积分与三角积分之间的关系：

图中的黑色和红色曲线分别描述了的实数和虚数部分。

参考资料

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