超限数
超限数是大于所有有限数（但不必为绝对无限）的基数或序数，分别叫做超穷基数（英语：transfinite cardinal number）和超穷序数（英语：transfinite ordinal number）。术语“超限”（transfinite）是由格奥尔格·康托尔提出的，他希望避免词语无限（infinite）的某些暗含，即那些只不过不是有限（finite）的对象。尽管当时其他作者对此有所疑惑，现在被接受的用法是称超限基数或序数为无限的。但是术语“超限”仍在使用。
介绍
超限数是大于所有有限数的仍不必定绝对无限的基数或序数。术语超限(transfinite)是康托尔提出的，他希望避免词语无限(infinite)的与只不过不是有限(finite)的那些对象有关的某些暗含。很少的当代作者共有这些疑惑；现在被接受的用法是称超限基数或序数为无限的。但是术语超限仍在使用。对于有限数，有两种方式考虑超限数，作为基数和作为序数。不象有限基数和序数，超限基数和超限序数定义了不同类别的数。最小超限序数是ω。第一个超限基数是aleph-0，整数的无限集合的势。如果选择公理成立，下一个更高的基数是 aleph-1。如果不成立，则有很多不可比较于 aleph-1 并大于 aleph-0 的其他基数。但是在任何情况下，没有基数大于 aleph-0 并小于 aleph-1。
超穷序数可以确定超穷基数，并导出阿列夫数序列。连续统假设声称在aleph-0和连续统（实数的集合）的势之间没有中间基数：就是说，aleph-1是实数集合的势。已经在数学上证实了连续统假设不能被证明为真或假，由于库尔特·卡塞雷斯和沃尔特·科恩的不完备性定理的影响。
某些作者，比如Suppes、Rubin使用术语超限基数来称呼戴德金无限集合的势，在可以不等于无限基数的上下文中；就是说在不假定可数选择公理成立的上下文中。给定这个定义，下列是等价的：
- {\displaystyle \mathbf{m} }是超限基数。就是说有一个戴德金无限集合A使得A的势是{\displaystyle \mathbf{m} }。
- {\displaystyle \mathbf{m} +1=\mathbf{m} }。
- {\displaystyle \aleph _{0}\leq \mathbf{m} }。
- 有一个基数{\displaystyle \mathbf{n} }使得{\displaystyle \aleph _{0}+\mathbf{n} =\mathbf{m} }。