平均曲率

在微分几何中，一个曲面 S 的平均曲率（平均数 curvature）H，是一个“外在的”弯曲测量标准，局部地描述了一个曲面嵌入周围空间（比如二维曲面嵌入三维欧几里得空间）的曲率。

概述

这个概念由索菲·热尔曼在她的著作《弹性理论》中最先引入。

定义

令p是曲面S上一点考虑S上过p的所有曲线Ci。每条这样的Ci在p点有一个伴随的曲率Ki在这些曲率Ki中，至少有一个极大值 与极小值这两个曲率称为S的主曲率。

的平均曲率是两个主曲率的平均值(斯皮瓦克 1999, 第3卷，第2章)，由欧拉公式其实也是所有曲率的平均值，故有此名。

利用第一基本形式与第二基本形式的系数，平均曲率表示为：

这里 E,F,G 是第一基本形式的系数，L,M,N 为第二基本形式的系数。

平均曲率可推广为更一般情形 (斯皮瓦克 1999, 第4卷，第7章)，一个超曲面 T 的平均曲率为：

更抽象地说，平均曲率是第二基本形式（或等价地，形算子）的迹。

另外，平均曲率 H 可以用共变导数 写成

这里利用了高斯-Weingarten 关系， 是一族光滑嵌入超曲面，为单位法向量，而gij 是度量张量。

一个曲面是极小曲面当且仅当平均曲率为零。此外，平面 S 平均曲率满足一个热型方程称为平均曲率流方程。

维空间中曲面

对 3 维空间中的曲面，平均曲率与曲面的单位法向量相关：

这里法向量的选取影响曲率的正负号。曲率的符号取决于法向量的方向：如果曲面“远离”法向量则曲率是正的。上面的公式对 3 维空间中任何方式定义的曲面都成立，只要能够计算单位法向量的散度。

对曲面是两个坐标的函数定义的曲面，比如，使用向下的法向量平均曲率（的两倍）表示为

如果曲面还是轴对称的，满足，则

流体力学

在流体力学中使用的另外一种定义是不要因子 2：

这出现于杨-拉普拉斯方程中，平衡球状小滴内部的压力等于表面张力乘以 Hf；两个曲率等于小滴半径的倒数。

极小曲面

Costa 极小曲面示意图

一个极小曲面是所有点的平均曲率为零的曲面。经典例子有悬链面、螺旋面、Scherk 曲面与 Enneper 曲面。新近发现的包括 Costa 极小曲面（Costa's mimimal surface，1982年）与 Gyroid（Gyroid，1970年）。

极小曲面的一个推广是考虑平均曲率为非零常数的曲面，球面和圆柱面就是这样的例子。Heinz Hopf 的一个问题为是否存在曲率为非零常数的非球面闭曲面。球面是惟一具有常平均曲率且没有边界或奇点的曲面；如果允许自交，则存在平均曲率为非零常数的闭曲面，Wente 在1986年曾构造出这样的自交环面(陈维桓 2006, 4.6节)。

参见

高斯曲率

平均曲率流

逆平均曲率流

面积公式第一变分

注释

Dubreil-Jacotin on Sophie Germain

Curvature in the Calculus Curriculum

关于角度的平均值。

参考文献

佳亚特里·斯皮瓦克, 迈克尔 (1999), A comprehensive introduction to differential geometry (Volumes 3-4) (3rd ed.), Publish or Perish Press, ISBN 0-914098-72-1 (Volume 3), ISBN 0-914098-73-X (Volume 4).

陈维桓 (2006), 微分几何, 北京大学出版社有限公司, ISBN 7-307-10709-9

参考资料

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