数学原理
《数学原理》（Principia Mathematica）是由伯特兰·阿瑟·威廉·罗素和阿弗烈·诺夫·怀特海共同撰写数学和逻辑学著作，该书共分三卷，分别于1910年、1912年和1913年出版。该书主要探讨了数学基础和原理，强调数学与逻辑的紧密联系，并尝试将数学概念逻辑化。该书认为数学定理可以从逻辑原理和一些基本的数学公理推导出来，是早期分析哲学的奠基之作。
《数学原理》的成书背景根植于数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨提出的逻辑主义，该主义认为，通过逻辑和符号系统可以表达和解决所有数学问题，而1879年弗雷格的著作《算术基础》使逻辑主义在技术上变得合理。但随着伯特兰·阿瑟·威廉·罗素在1901年提出罗素悖论等问题，逻辑主义面临了新的挑战——即仅凭逻辑原理可能无法完全建立数学的基础。之后，罗素邀请老师怀特海合作开展研究，共同撰写《数学原理》一书，旨在创建一个坚实的数学和逻辑体系，以证明数学可以完全建立在逻辑的基础之上。从1902年开始，罗素和怀特海在共同讨论和研究的基础上启动了《数学原理》第二卷的撰写工作，罗素主要负责哲学部分，而怀特海贡献了符号系统和大部分推导工作；在接下来的几年中，尽管面临个人生活和情绪上的挑战，伯特兰·阿瑟·威廉·罗素坚持完成了这部作品的写作，直到1909年春天全书初稿完成，1910年出版第一卷，整个三卷本最终在1913年正式面世，后于1925至1927年再版。
《数学原理》深入探讨了数学的逻辑基础及其与哲学的关联。书中强调数学与逻辑之间的紧密联系，并主张数学理论可以通过逻辑方法来简化和证明。在书中，作者通过形式化手段使用符号和公式进行逻辑推理，以提升数学的精确性和严谨性；通过引入了类型理论解决逻辑悖论，确立了集合和命题函数的层次结构，避免自引用；通过提出叙述学说区分名称和叙述，澄清逻辑结构；通过重新解释数学归纳法，扩展其应用范围；并通过对选择公理和结构概念的分析，为数学提供了坚实的逻辑基础。第一卷主要通过重新审视传统数学公理并质疑其必要性，扩展了数学的研究范围，并构建了一个基于选定前提的严密演绎系统，同时引入类型理论解决逻辑和集合论中的矛盾和悖论，发展了一套符号逻辑以进行复杂的数学推理；第二卷在上述基础上，进一步定义了基数并探讨了它们的逻辑属性以及适用于有限和无限数的加法、乘法和指数运算规则，同时指出了有限概念的双重含义所带来的理论复杂性，并展示了类型理论在解决最大基数逻辑矛盾中的关键作用；第三卷继续前两卷的内容，深化了级数理论、系统性地展开了测量理论，并引入了广义的“向量”概念以将比例定义为关系间的一种联系，并特别针对几何学应用，探讨了循环族，如固定平面上的角，为数学的形式化和公理化方法提供了重要的理论支撑。
《数学原理》一书在哲学研究领域通过强调“逻辑主义”的运用，令后世的数学家和逻辑学家对数学和逻辑的基础产生了革命性的影响；在现代数学中，《数学原理》系统化地推导出数学理论，促进了数学的形式化系统和公理化方法的发展；本书的集合层次结构理论，对计算机科学的系统结构和体系架构产生了重要影响，为程序验证等应用提供了理论基础。《数学原理》还促进了科学哲学与科学研究之间的对话，其阐述的逻辑构造论对后来的语言哲学和心灵哲学产生了影响，也对数学教育提供了重要的参考框架，影响了后续的数学教学和课程设计。此外，《数学原理》被《当代文库》编辑委员会评定为本世纪百大最佳英文非小说中的第23位，该书也被称为将伯特兰·阿瑟·威廉·罗素载入史册的巨著，被后世学者认为是数理逻辑发展史上的里程碑。
作者介绍
伯特兰·罗素
伯特兰·阿瑟·威廉·罗素（Bertrand Arthur William Russell）于1872年5月18日出生，是英国威尔士一个贵族家庭的孩子。幼年时父母因病去世，由祖父母抚养长大。1890年，罗素考入剑桥大学三一学院，完成数学和哲学专业的学习后曾两度在该校任教。1908年罗素当选为皇家学会会员。1911年任亚里士多德协会主席。
伯特兰·阿瑟·威廉·罗素一生发表了60多本著作和大量的论文，他的主要作品包括《西方哲学史》《哲学问题》《心的概念》和《物的分析》等。他在数学与哲学上采取弗雷格的逻辑主义立场，并创立分析哲学，对哲学、数学和逻辑学的发展都产生了深远的影响。与此同时，伯特兰·阿瑟·威廉·罗素非常关怀政治现实，曾参与过反战、核裁军等社会运动，也发表过大量针对现实议题的论著，从而收获了广泛的社会影响。1950年，罗素获得诺贝尔文学奖，瑞典文学院给他的颁奖词是“褒扬他的哲学著作，它们不仅丰饶而且重要，同时，它们使他成为人性与思想自由的捍卫者”。伯特兰·阿瑟·威廉·罗素由此成为以“非文学家”身份而获得诺贝尔文学奖的第四人。1970年2月2日，罗素在英国家中逝世，终年九十八岁。
阿弗烈·诺夫·怀特海
阿弗烈·诺夫·怀特海（Alfred North Whitehead）是在攻读数学时期的老师，于1880年考入大学三一学院，主攻数学。1885年大学毕业，留在母校任数学和力学教师，他在母校任教25年，主要从事教学、著述和一些政治活动。1890年，罗素考取了阿尔弗雷德·怀特黑德所主持的研究班，他非常赏识罗素的才能，并且为他介绍了当时在剑桥大学任讲师的新主义者麦克塔加特以及一些年轻的同学，包括后来成为著名哲学家的摩尔。1924到1937年，他应聘到哈佛大学担任哲学教授。退休后，担任哈佛大学名誉教授，居住在坎布里奇市。1947年12月30日，去世，终年86岁。
成书背景
逻辑主义的观点最早在17世纪由戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）提出，是一种主张数学可以被简化为逻辑的哲学观点。这一理论认为所有的数学真理都可以被翻译为逻辑真理，即数学词汇构成了逻辑词汇的一个子集；并认为所有的数学证明都可以被重铸为逻辑证明，即数学定理是逻辑定理的一个子集。在19世纪20年代，数学家们如波尔查诺（Bernard Bolzano）、尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel）、柯西（Augustin Louis Cauchy）和卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔施特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstras）等人，通过消除数学中的模糊性和矛盾，为逻辑主义的发展奠定了基础。到了19世纪中后期，哈密顿（William Rowan Hamilton）和其他数学家的研究进一步推动了逻辑主义的发展，他们通过有序的实数对为复数和实数提供了逻辑基础。
1879年，弗雷格（Friedrich Ludwig Gottlob Frege）在他的著作《算术基础》（Grundgesetze der Arithmetik）中正式提出了“逻辑主义”，即认为数学概念可以归约为逻辑概念，数学定理可以证明为逻辑定理的直接结果。之后，伯特兰·阿瑟·威廉·罗素在研究弗雷格的工作时发现了“罗素悖论”，这一悖论揭示了弗雷格系统中存在的逻辑矛盾，也表明了仅凭逻辑原理可能无法完全建立数学的基础，对逻辑主义构成了严重挑战。
为了解决罗素悖论并继续推进逻辑主义，罗素与老师阿尔弗雷德·怀特黑德于1902年开始了合作，一同创建一个坚实的数学和逻辑体系，以证明数学可以完全建立在逻辑的基础之上，其共同的作品便是《数学原理》一书。
内容概要
第一卷
第一卷源于现代数学分析、几何学、集合论和符号逻辑的交叉融合。伯特兰·阿瑟·威廉·罗素与怀特海通过对传统公理的重新审视和证明，不仅质疑了这些公理的必要性，还扩展了数学的研究范围，使其触及了此前无法用数学方法研究的领域，如无限数的概念。
在书中，罗素为了避免广泛的哲学讨论和争议，采取了一种教条主义的陈述方式，以确保理论的严谨性。他们构建了一个严密的演绎系统，包括对现有数学的分析和基于选定前提的重建与推导。为了展示假设和结果之间的逻辑关系，书中提供了详尽的证明。书中还强调了一般化的重要性，即在可能的情况下，从最一般的假设出发来得出结论。此外，为了解决逻辑和集合论中的矛盾和悖论，书中引入了类型理论的概念，并根据实际需要发展出用于进行复杂数学推理的符号逻辑。
本卷分为数学逻辑（Mathematical Logic）、基数算术序言（Prolegomena to Cardinal Arithmetic）两章内容，以及附录和定义清单。
数学逻辑
本章内容专注于传统上属于符号逻辑领域或者因其普遍性而应当属于该领域的话题，旨在建立命题、命题函数、类和关系的性质，这些性质在任何数学推理中都可能是必需的，不仅限于数学的某个分支，而是依赖于原始命题的演绎链条，以及形式化的计算系统。
本章构成了整个著作的逻辑基础，并以此建立一个坚实的逻辑框架，以便后续部分能够在此基础上展开更复杂的数学理论。其中，命题逻辑在《数学原理》中首次被作为独立的理论体系提出，它使用符号化语言表达命题之间的关系。书中的命题逻辑基于两个原始连接词：否定（∼）和析取（∨），而蕴含（⊃）是由这两个连接词定义的。命题逻辑的公理化方法包括了一系列基本命题（Pp），例如：
这些公理通过模态命题（Modus Ponens）和替换规则进行推导。 该部分内容从某些关于从一个命题或断言的命题函数推导出另一个命题的公理开始，分为A-E五个小节：
A.类型理论（The Theory of Deduction）中，推导出与通过给定命题获得新命题的四种方式（否定、析取、并置断言和蕴含，后两者可以用前两者来定义）相关的各种命题。类型理论是本书解决逻辑悖论的关键机制，特别是罗素悖论，其中“分支类型理论”（Ramified Theory of Types）通过限制命题和函数的类型来避免自引用和无限回归。在类型理论中，个体、命题函数、以及命题函数的函数被分配到不同的类型层次，以确保逻辑表达式的合法性。类型理论的引入，使得《数学原理》能够定义一个复杂的系统，称为“类型化的关系理论”，这与弗雷格的逻辑系统有显著的不同。
B.显变量理论（Theory of Apparent Variables）中处理包含显变量的命题（即涉及“所有”或“一些”概念）之间的关系，以及它们与不含显变量的命题之间的关系。
C.类与关系（Classes and Relations）中涉及类和类比于类的关系到，展示了类和关系是“不完全符号”，并处理了类和关系的演算。并在*24中讨论了类具有命题所不具有的某些属性。在讨论本节内容时，作者采用了一种称为“语境定义”的方法，它允许从谈论类的语境中消除类术语，通过这种逻辑可以合理排除了集合论中出现的悖论，如罗素悖论。
D.关系逻辑（Logic of Relations）中专门讨论了关系的那些没有类比于类的属性，并引入了许多在整个工作中不断需要使用的思想和符号。此外，该节还补充了一篇注释，以对该节内容的总结及部分问题的澄清。
E.类的积与和（Products and Sums of Classes）扩展了类或关系的加法和乘法的概念，以处理加数或因子不是单独给出，而是作为某个类的成员给出的情况。从形式化计算的角度来看，数学逻辑有三个类似分支：命题的演算、类的演算和关系的演算，每个分支都有否定、加法、乘法和蕴含或包含的类似概念。
基数算术序言
本章的研究对象上与第一章有一定的连续性，但更侧重于对基数算术有直接影响的数学对象。虽然基数算术是第二章的最终目标，但所研究的对象也对序数算术和级数理论至关重要，并为为数学的数论基础提供了严密的逻辑框架。
本章使用了一系列的定义和公理来构建基数算术。例如，定义基数数（定义为类的所有类似类的类）的公式是：，这个公式表明基数数是所有与给定类相似的类的类，其中相似性意味着可以通过一一对应来关联元素。通过这些定义和公理，《数学原理》不仅为自然数提供了一个坚实的逻辑基础，而且还展示了如何将这些概念扩展到更广泛的数学结构，如有限和无限的基数算术。这为后续卷册中对有理数、实数以及更高级数学概念的探讨奠定了基础。
该部分为理解基数算术奠定了基础，同时引入了一些关键的数学概念和理论，这些概念和理论在后续部分中将发挥重要作用，分为A-E五个小节：
A.单元类和对（Unit Classes and Couples）中，讨论了单元类和偶对，其中单元类是只包含一个给定项的类，是构建更复杂数学结构的基础，它们代表了数的不可分割的单元，而偶对则是基于基数或序数定义的。
B.子类、子关系和相对类型（Sub-Classes,Sub-Relations,and Relative Types）探讨了给定类的所有子类，并给定关系的子关系，以及“相对类型”的概念，这些在算术中尤其有用，特别是在与存在性定理相关的上下文中。
C.多对一、一对多和一对一关系（On-Many,Many-One,and One-One Relations）涉及一对多、多对一和一一对应的关系，定义了相似性的概念，是基数算术的基础。
D.选择（Selections）引入了选择函数的概念，允许从给定的集合中选择特定的元素，这是现代集合论中的一个基本概念这是基数和序数乘法的基础。
E.归纳关系（Inductive Relations）涉及数学归纳法的一般形式，它不仅适用于有限整数，且适用于所有关系，其命题在理论中极为重要，尤其是在处理有限和无限的理论中，以及在从一对多、多对一或一一对应关系导出级数的许多其他主题中，例如通过连续构造和谐音点来对射影空间的“有理”点进行排序。
附录
第一卷的附录部分由三个主要部分组成，包括推论规则、数学归纳法的应用，以及命题在逻辑和语言中的复杂性：
附录A：专注于含有显变量的命题的类型理论，解释了如何通过基本命题构建矩阵并从中推导出新的命题。它详细讨论了命题的逻辑运算，包括否定、析取、并置断言和蕴含，并引入了一些用于处理这些运算的基本规则和定义。
附录B：讨论了数学归纳法及其在不依赖可还原性公理时可能遇到的难题。文中提出了一种避免这些问题的方法，并通过定义归纳类的概念来简化处理。此外，还探讨了区间的概念，并证明了在特定条件下，区间可以作为一个归纳类，为数学归纳法提供了坚实的基础。
附录C：深入讨论了命题在逻辑中的作用，区分了命题作为事实的类和作为真值载体的特定事件。它还涉及了命题在真理函数中的“透明性”以及在非真理函数中的不同表现。讨论了命题分析的问题，即如何将命题分解为其组成部分，并探讨了命题和命题函数在逻辑表达中的区别。
定义清单
第二卷
第二卷首先对基数（Cardinal numbers）进行了定义，并讨论了它们的一般逻辑属性，基数是用来量化集合元素数量的数学概念。随后，文本深入探讨了基数的加法、乘法和指数运算，强调这些运算规则普遍适用，不仅限于处理有限数的情况。在讨论有限与无限的概念时，文本指出这一理论的复杂性部分源自“有限”的双重含义，这在不假设乘法公理的前提下是无法统一的。 此外，类型理论在本部分中发挥了实际作用，它为解决关于最大基数的逻辑矛盾提供了方法。
整体而言，这一部分强调了类型理论在确保数学逻辑一致性方面的核心作用，同时展示了基数在数学理论和实践中的基础性重要性。本卷分为基数运算（Cardinal Arithmetic）、关系算术（Relation-Arithmetic）与序列（Series）前半部分三章内容。
基数运算
该章深入探讨了基数理论的核心概念，包括它们的定义、运算以及与有限和无限相关的概念，旨在建立一个坚实的数学逻辑基础，助于读者更深入地理解有限、无限等概念在数学中的含义和应用。
展开了对基数数（Cardinal numbers）的全面研究，这些基数数是数学中用于表示集合大小的概念。此部分从定义基数数开始，通过一系列逻辑严密的步骤，逐步建立起基数算术的基础。基数数的定义是基于集合间一一对应关系的概念，即如果两个集合之间可以建立一一对应，则它们具有相同的基数。《数学原理》中基数数的定义为：，表达了一个集合x是基数数的条件，即集合x的所有元素y都能与通过一一对应z和w相匹配，其中表示z和w是相似的。
本章引入了“同构基数”（Homogenous cardinals）的概念，指的是由相似类组成的类，其成员都是相同类型的。这使得对基数数的研究更加系统化；定义了基数数的加法和乘法，这些定义允许将自然数的算术运算推广到更一般的基数数上。例如，基数数的加法被定义为：这个定义通过配对操作将两个集合的元素合并，从而形成一个新的基数数，它代表了两个集合合并后的大小。
此外，本章还探讨了基数数的无穷性，引入了无穷公理（Axiom of Infinity），它保证了对于任何有限集合，都存在不在该集合中的新个体，从而可以构造后继元素，这对于自然数的构建至关重要。
该章共分为A-C三个小节：
A.基数词的定义和逻辑性质（Definition and Logical Properties of Cardinal Numbers）阐述了基数的定义和逻辑属性，强调了其在数学逻辑中的重要性，并解释了如何通过避免不必要的不可定义概念来简化数学理论。同时，它也阐明了基数与类别之间的关系，以及如何处理零和单位基数的特殊情况。
B.加法、乘法和指数（Addition,Multiplication and Exponentiation）深入探讨了基数的算术运算，包括加法、乘法和指数运算，以及基数之间的大小关系。作者的目标是确保算术运算的定义具有最大普遍性，使其既适用于有限也适用于无限类别的基数。此外，定义将允许在一个和或乘积中涉及无限数量的加数或因子，并能够处理不同类型的基数之间的运算。此外，在本节的*110·643中，作者给出了1+1=2的证明：首先定义自然数的“后继”概念，即每个自然数n的后继是n+1，然后利用数学归纳法，证明了1的后继（即2）是存在的，并且是唯一的。
C.有限和无限（Finite and Infinite）中表述，虽然在定义算术运算或证明它们的正式法则时并不需要区分有限和无限，但有限基数和类别与无限基数和类别之间存在许多重要的差异，除非借助乘法公理，这两种定义方式不能被证明是等价的。为了避免概念上的混淆，作者建议采用不同的术语来区分这两种分类方法：第一种定义方法导致的分类称为归纳的和非归纳的，而第二种方法导致的分类被称为非自反的和自反的。这种区分对于深入理解有限和无限在数学中的含义及其应用至关重要。
关系算术
本章展示了如何将传统的数的运算推广到更一般的结构，主要探讨了广义算术。广义算术不仅适用于序数算术，而且适用于所有关系，在处理生成序列的关系时尤为重要，并与基数算术有着密切的类比关系。该章节介绍了序数相似性、关系数、序数和、序数积等概念，并讨论了这些概念如何满足或不满足特定的数学法则。
关系算术的核心思想是将关系视为可以进行数学操作的对象，类似于数的操作；探讨了关系的序数性质，引入了“序数相似性”（Ordinal similarity）的概念，以及如何通过关系的幂（Powers of a relation）来构造关系的祖先（Ancestral）和后代（Descendants）；涉及了关系的有限和无限操作，以及如何通过关系来定义和理解数学中的无限概念。这部分共分为A-D四个小节，其内容在数学上具有开创性，为后来的数学家和逻辑学家提供了一种全新的视角来研究和理解关系和结构：
A.序数相似性和关系数（Ordinal Similarity and Relation-Numbers）定义了关系之间的关系，称为序数相似性或类同性，这与类别之间的相似性相似，并定义了关系P的关系数，即与P相似的所有关系的类别。这与类别a的基数定义类似，即与a相似的所有类别的类别.
B.关系的加法和两个关系的乘法（Addition of Relations,and the Product of Two Relations）介绍了两个关系P和Q的序数和，如果P和Q生成序列，那么它们的和定义为在P序列结束后添加Q序列得到的新序列，以及两个关系P和Q的序数积，这是基于两个关系领域中元节素的配对。同时作者在本节中定义了关系之间的加法、乘法以及指数。这些操作不是在传统的数上进行，而是在关系的集合上进行，从而形成了一种新的数学结构。
关系的加法定义为：，这个定义表达了关系的加法可以看作是包含了关系P和关系Q中所有元素对的集合，同时还包括了那些在P中以x为起点或在Q中以y为终点的元素对；
关系的乘法则定义为：，说明了关系的乘法涉及到两个关系域中的元素对的配对，并且按照一定的顺序原则进行排列。
C.差商原则、关系乘法和指数（The Principle of First Differences,and the Multiplication and Exponentiation of Relations）介绍了关系算术中一个关键的原则，即“差商原则”，它在该领域的应用极为广泛且重要。费利克斯·豪斯多夫（Felix Hausdorff）在其文章中已经阐释并利用这一原则得到了重要结果，证明了其在关系算术中的价值。除了在关系数的乘法和指数运算中的应用，差商原则还用于序列中对不同类别集合的排序等其他方面；
D.关系数的算术（Arithmetic of Relation-Numbers）探讨了关系数的算术运算及其属性。这些算术属性将基于先前部分中已经建立的关系的算术属性来推导。此外，该节与“基数算术”章的B节相似，但排除了那些在“关系算术”章B、C节中已经讨论过的类似主题。
序列
作者在这部分内容深入探讨了序列和关系的数学理论，特别是那些能够生成序列的关系；定义了序列关系及其属性，说明了序列关系是不对称、传递和连通的，并且阐述了序列与生成关系之间的联系，即序列由其生成关系所完全决定，同时指出了传递关系在简化序列相关命题中的应用，以及如何通过领域来确定包含在更大序列中的子序列。
该章共分为A-C三个小节：
A.一般序列理论（General Theory of Series）中讲述序列关系是具有三个不同属性的关系：多样性（Diversity）、传递性（Transitivity）和连通性（Connexity）。连通性指的是关系或其逆关系在其领域内任意两个不同成员之间都成立，同时序列关系是不对称的、传递的和连通的。作者在本节定义了序列的概念，并提出了序列的基本性质。序列被定义为具有不对称性（Asymmetrical）、传递性（Transitive）和连通性（Connected）的类。例如，一个序列P可以被定义为：其中xPy 表示x在序列P中先于y。
B.关于节、段、伸展和偏导数（On Sections,Segments,Stretchrs,and Derivativrs）探讨了序列的子集、段（Segments）、伸缩（Stretches）和导数（Derivatives）等序列理论中的关键概念；定义“戴德金序列”（Dedekindian series），并证明关于序列段的序列总是戴德金序列的重要命题，即每个段的类别都有一个最大值或极限。以及收敛性、函数的极限以及连续函数的定义；
C.收敛性与函数的极限（On Convergence,and the Limits of Functions）探讨了序列的收敛性（Convergence）和函数的极限（Limits），专注于收敛性、函数的极限以及连续函数的定义。这一节的目的是展示这些数学概念可以在比传统方法更一般的情况下被表达，并且能够确立它们的许多属性。同时，这种讨论并不假定函数的参数或值必须是数值的或可以用数值度量的，从而允许在更广泛的数学和逻辑框架内探讨这些概念。
第三卷
本卷在第二卷的基础上，进一步发展了级数理论，并对测量理论进行了系统的介绍。第六部分（量）的比例和测量理论是本卷的创新之处，它建立在欧几里得《几何原本》第五卷和布拉利-福尔蒂的工作之上，并提出了将数量视为广义上的“向量”，从而将比例视为关系之间的关系等理论，降低了通常在此类研究中强调的向量形成群的假设的重要性。
作者发展了一种比率和实数的理论，不将比率视为简单的整数对，而是作为两个实际数量之间的关系。在“向量族”理论中，作者在引入数字之前就发展了它们的许多属性，展示了测量理论是如何从两个纯理论——一个关于比例和实数的算术理论，另一个是关于向量的纯理论——的结合中产生的。此外，为了几何学的应用还讨论了循环族，例如给定平面上关于给定点的角度。这些理论不仅在数学上具有创新性，而且对于后续卷中几何坐标的引入也具有重要意义。
本卷分为第二卷“序列”续章、量（Quantity）两章内容。
序列（续）
该部分继续深入探讨了序列的理论，这部分内容是对第二卷中序列理论的延伸和深化。第三卷的序列部分主要集中在序列的良序性、序数、以及与无限性相关的概念上，共分为D-F三小节：
D.良序序列（Well-Ordered Series），即一种特殊类型的序列，其中每个存在的子类都有一个第一项，具有许多一般序列所不具备的重要属性。良序序列（非空）都有一个第一项，并且除了最后一个项（如果有的话）之外，每个项都有一个直接后继；良序序列遵守一种称为超限归纳的扩展数学归纳法，它涉及类的后继而不是单个项的后继等等。良序性意味着序列中的任何非空子集都有一个最小的元素。这一概念在数学中非常重要，因为它允许通过归纳推理来证明关于自然数的一般性命题，并在数学的多个领域中具有重要应用，尤其是在集合论和序理论中。
作者还在这一节中提出所有序数构成的序列是良序的，并且可以被赋予一个序数，但由于类型理论的限制，不存在一个序数来表示“所有序数”的集合，因为这样的集合会导致逻辑上的悖论；讨论了策梅洛定理（Zermelo’s theorem），该定理在选择了公理的情况下表明，每个集合都可以被良序化。这一结果与选择公理等价，并且展示了良序原理在集合论中的重要性。
E.有限和无限序列以及序数（Finite and Infinite Series and Ordinals）讨论了有限与无限序列的区别、有限序数的属性、最小的无限序数（第一个不可数序数，不是任何小的序数序列的极限），以及一些特殊的序数和基数序列。同时，它还提到了在序列理论中经常使用的生成关系，以及如何通过这个关系来定义序列中的中介项数量。其中，中定义序数时使用了复杂的逻辑构造，以确保避免像布拉利·福尔蒂悖论（Burali-Forti paradox）这样的逻辑矛盾。
F.紧致序列、有理序列和连续序列（Compact Series,Rational Series,and Continuous Series）内容讨论了紧凑序列（Compact series）的概念，以及与紧凑性相关的一些序列类型（德恩金连续序列、有理序列、连续序列）及其属性，强调了紧凑性在定义和理解不同类型的数学序列中的重要性，并且指出了当紧凑性与其他性质（如德恩金连续性）结合时，可以产生具有丰富数学属性的序列。这些概念在实分析和拓扑学中有重要应用，它们帮助数学家处理实数和实数序列的性质。
量
该章旨在阐述数字在测量应用方面的种类。为此需要考虑数字的一般化形式，且讨论的数字仅限于整数（基数或序数）。该部分主要涉及数字在测量方面的应用，包括数字的一般化、量的种类、向量族的测量，以及循环向量族的特殊测量问题。
本部分标志着从纯粹的数学逻辑和数论问题的重要的转向，将物理世界中量度（Measurement）和物理量（Quantities）进行了数学处理，深入探讨了如何将数学应用于实际的物理量度，包括对向量、比率、实数以及它们在几何和物理学中应用的讨论。不仅展示了数学概念如何在实际问题中发挥作用，还体现了作者试图建立一个全面数学体系的雄心，这个体系能够从逻辑的基础出发，解释和理解自然界的现象。本章共分为A-D四个小节：
A.数的推广（Generalization of Number）主要围绕数列的定义、关系的幂运算、无号比率（即不考虑正负号的比率）的定义以及实数的引入和运算规则展开，强调了数学运算中定义的精确性，以及在引入新的数学概念（如实数）时，保持运算性质的重要性。其中将比率（Ratios）的定义表示为：，其中R和S表示两个关系，n和m是互质的整数，和分别表示R的n次幂和S的m次幂。当时，x与y之间存在n与m的比率关系。
B.向量族（Vector-Families）一节中，作者所处理是“量的种类”：例如，质量、空间距离、速度，每种都构成一种量，并将每种量视为“向量族”，即具有相同共轭域的一一关系类，并且它们的域都被包含在它们的共轭域（Converse domain）中。该部分解释了将量视为向量的原因，并考虑不同类型的向量族，目的是获得可以通过比率或实数进行测量的族。
C.测量（Measurement），即通过测量发现向量族成员之间的比率或由实数表示的关系。如果一个向量族包含一个成员（单位），使得任何其他成员必然与包含一种关系，这种关系要么是比率，要么是实数，那么这个向量族就是可测量的。将展示某些类型的向量族在这种意义上是可测量的，并且这样定义的测量具有我们期望它拥有的数学属性。例如，如果两个物体具有相同的重量或长度关系，它们就被认为是等价的。
D.循环族（Cyclic Families）是一类特殊的量度问题，涉及到如角度或椭圆直线这样不开放的家族。循环族的测量需要一种特殊的理论，以适应这些循环或周期性的性质。应用于这类族的测量理论呈现出特殊的特点，因为可以将任意数量的完整旋转加到一个向量上而不会改变它。因此，不存在两个向量之间的单一比率，而是有许多比率，通常从中选择一个作为主要比率。
重要概念
《数学原理》一书中的多个重要哲学概念，在数学哲学领域的深远影响，它们不仅对数学的基础产生了重要影响，也对逻辑学和语言哲学产生了深刻的启示。
逻辑主义
逻辑主义是一种哲学立场，它认为数学概念可以归约为逻辑概念，数学定理可以通过逻辑推理从逻辑公理中得到证明。在《数学原理》一书中，作者强调了纯粹数学能够完全基于逻辑的前提和概念推导出来。为了应对悖论（如罗素悖论），书中引入了类型理论，通过区分命题和集合的层次来避免自引用和循环定义的问题。此外，命题函数和类的概念被用来构建数学的逻辑基础，而符号逻辑的使用则使得数学推理得以形式化，从而减少歧义和错误。《数学原理》中的数学归纳法被重新解释为一种定义，而非原理，有助于在逻辑框架内处理自然数的推理。关系算术的引入允许数学结构的逻辑性质被形式化，使得数学结构可以被逻辑地分析和理解。逻辑主义以此为数学提供一个坚实的逻辑基础，并对后来的数学逻辑和数理哲学产生了深远的影响。
类型说
类型说是一种由伯特兰·阿瑟·威廉·罗素在《数学原理》中提出的逻辑学理论，旨在解决数学和逻辑中出现的悖论，尤其是罗素悖论。该理论通过建立一个严格的层次结构来避免逻辑自引用，即一个集合或命题函数不能包含自身作为成员或值。在这个层次结构中，每个类型的集合或命题函数都是建立在前一个类型基础之上的，确保了集合的成员必须是比该集合本身低一类型的。类型说中，命题函数和命题被明确区分，命题函数是一种含有变量的逻辑表达式，它对于特定的变量值表达一个命题。此外，类型说还规定了不同类型之间的操作规则，限制了命题函数的应用，以保证逻辑表达式的合理性。通过这些方法，类型说试图消除悖论产生的逻辑矛盾，确保数学和逻辑推理的一致性，并在《数学原理》中被用来构建数学的基础，对逻辑学和数学哲学产生了深远的影响。尽管类型说在理论上提供了解决悖论的方案，但它也带来了一定的技术复杂性，并非所有逻辑学家和数学家都完全接受这一理论。
叙述学说
叙述学说是伯特兰·阿瑟·威廉·罗素在《数学原理》中提出的一种逻辑分析方法，用以区分名称和叙述在逻辑和语言中的根本差异。该学说认为，名称如“沃尔特·司各特（Scott）”直接指代一个特定的对象，而叙述如“《威弗雷》的作者”则描述了一个对象的属性或关系，并不直接指代任何对象。罗素通过叙述学说分析含有叙述的命题，主张这类命题实际上是关于那些满足叙述条件的对象，而非叙述本身。这种方法有助于澄清存在句的逻辑结构，如“《威弗雷》的作者存在”被解释为存在某个人写了《威弗雷》，而非指存在一个对象是“《威弗雷》的作者”。叙述学说在解决逻辑悖论、提高语言精确性、简化逻辑表达方面发挥了重要作用，对逻辑学和语言哲学产生了深远的影响，并最终被广泛接受为现代逻辑分析的一个重要工具。
数学归纳法
数学归纳法是一种广泛应用于数学证明中的方法，用于确立关于自然数的普遍命题。在《数学原理》一书中，伯特兰·阿瑟·威廉·罗素和阿尔弗雷德·怀特黑德提出数学归纳法不应被视为一个独立的数学原理，而是作为一种定义来理解。这种方法包含基础步骤和归纳步骤：基础步骤证明命题对于最小的自然数成立，而归纳步骤证明如果命题对于某个自然数成立，则对于它的后继数也成立。书中进一步将数学归纳法与祖先关系的概念联系起来，通过定义“后代”来阐释有限性的概念，从而使得数学归纳法可以推广到更广泛的结构上。该种方法不仅为数学归纳法提供了坚实的逻辑基础，而且通过类型说的概念，确保了数学的严格性和无矛盾性，极大地简化了对无限多命题的证明过程，对数学理论和实践产生了深远的影响。
选择公理
选择公理是数学中的一个关键性原则，它允许从任意多个非空集合中各选择一个元素，即便这些集合是无限的。在《数学原理》一书中，伯特兰·阿瑟·威廉·罗素与阿尔弗雷德·怀特黑德将其与数学归纳法和乘法公理联系起来，扩展了数学归纳法的应用范围，使其适用于无限集合的情形。选择公理在简化数学证明和处理涉及无限集合的问题时发挥着重要作用，尽管它曾引起一些争议，特别是关于无限选择的可行性。该公理与类型说相结合，为数学提供了坚实的逻辑基础，确保了数学的严格性和无矛盾性。选择公理在现代数学的多个分支中都是不可或缺的，包括代数、拓扑学和实分析等，它使得数学家能够在不改变集合本质结构的前提下进行选择，对于数学理论和实践的发展具有深远的影响。
结构概念
结构概念在《数学原理》中是通过关系算术得到精确定义的，它指的是在逻辑上可以互换而不改变次序的关系的特性。这一概念允许数学家分析和比较不同关系之间的共同逻辑特性，特别是当这些关系在次序上是类似的时候。结构不仅与逻辑性质紧密相关，而且它在数学的多个分支，包括几何学中，对于理解不同几何对象之间的共同性质具有重要作用。此外，结构概念在经验科学中也非常重要，因为它意味着具有相同结构的关系在逻辑上具有相同的性质，这对于理解自然界的规律和模式至关重要。罗素强调了关系算术提供的符号技术，这种技术使得结构概念的应用更为精确和广泛。结构概念不仅在理论数学中占有重要地位，而且在实际问题，如辞典编辑问题等，既展示了其应用价值，又促进了对数学对象和概念的深入理解。
成书过程
皮亚诺的启迪
1900年7月，首届世界哲学大会（World Congress 哲学）在巴黎举行，伯特兰·阿瑟·威廉·罗素与阿尔弗雷德·怀特黑德决定参加这次大会，罗素更是受邀在会上宣读论文。会议上，伯特兰·阿瑟·威廉·罗素遇见了意大利数学、逻辑学家皮亚诺（Giuseppe Peano），并在会议讨论中见识到皮亚诺严密的数学逻辑，其在参加任何辩论时都会占据上风。罗素请求皮亚诺送予自己他的全部著作，并在会议之后进行潜心研究。罗素也因此通过皮亚诺的著作印证了其创造的符号正好是自己寻求多年的、可用来进行逻辑分析的工具，为自己的研究工作提供了一种强有力的新技术。9月，伯特兰·阿瑟·威廉·罗素将皮亚诺的学派方法推广到关系逻辑上，开始与导师阿尔弗雷德·怀特黑德每晚讨论数学分析的各类问题，通过几个星期的彻夜研讨，发现了自身对基本概念、像序和基数的种种问题的最后答案。在这一阶段，伯特兰·阿瑟·威廉·罗素甚至认定：“以前留给哲学家任其暖昧不明的思想去发挥的领域都可以由精确的公式来征服。”
同年的从10月开始起笔，到年末最后一天，罗素完成了《数学的原理》（The Principles of 数学）（又译为《数学基础》）的手稿，罗素在书中初步阐明了“数学与逻辑是同一的”这一观点，伯特兰·阿瑟·威廉·罗素认为要完善这一论题，需要更新逻辑。此前，阿尔弗雷德·怀特黑德也曾于1898年出版了自己的数学著作《泛代数论》(A Treatise on Universal Algebra)，成为两人合作完成《数学原理》的契机。
罗素悖论的困扰
1901年的春季学期，剑桥大学教授梅特兰（Frederic William Maitland）去马德拉群岛休养，伯特兰·阿瑟·威廉·罗素与妻子爱丽丝·皮尔索尔·史密斯（Alys Pearsall Smith）同怀特海一家举家搬到梅特兰教授在唐宁学院的房子。此时，怀特海夫人伊芙琳的心脏病已较为严重，伯特兰·阿瑟·威廉·罗素夫妇和怀特海都担心她的病情以及对怀特海著书状态的影响。在春季学期结束时，罗素与妻子再度回到费恩赫斯特。
5月，罗素开始论证格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）提出的猜想（即最大数不存在，亦称“最大基数悖论”），并通过研究弗雷格的理论进而提出“罗素悖论”，一个具有自指性质的悖论：对于任意一个集合A，A要么是自身的元素，即；A要么不是自身的元素，即。根据康托尔集合论的概括原则，可将所有不是自身元素的集合构成一个集合S1，即。
伯特兰·阿瑟·威廉·罗素试图将康托尔的证明应用于所有存在事物的类上，从而引发了关于那些不是它们自身元素的类的思考。这种思考进一步引导他提出了一个问题：所有这种不是它们自身元素的类构成的类，是否是它自身的元素。然而，无论他给出的答案是肯定还是否定，都导致了逻辑上的矛盾。这促使他进一步思考如何完善和发展数学逻辑体系，以应对这类悖论带来的挑战。1901年下半年，罗素决定搁置该问题，并继续完成《数学的原理》，并于秋天在剑桥大学授课两个学期的数理逻辑，以及讲演《数学的原理》的大纲。5月23日，伯特兰·阿瑟·威廉·罗素正式完成了《数学的原理》一书，开始出版，并在之后开始致力于其中数学的细节论述，成为后来《数学原理》第一卷的内容。
第二卷的开始
1901年夏，罗素与阿尔弗雷德·怀特黑德开始讨论第二卷事宜，从逻辑出发推导数学的课题令怀特海产生了极大兴趣。这一时期，怀特海已经开始写作《泛代数论》的第二卷，但这两卷实际上论述的是相同的课题，所以决定与罗素联手合著《数学原理》的第二卷，罗素也为老师的加入感到高兴。
根据他们的合作协议，伯特兰·阿瑟·威廉·罗素主要负责该项目的哲学部分，包括撰写本书的引言，介绍理论背景。在技术推导方面，除了那些从皮亚诺那里继承的以外，阿尔弗雷德·怀特黑德又创造了大部分的符号系统，完成了大部分的推导工作。为了确保著作的质量，他们采取了严格的审稿制度。每个部分都经过了三遍以上的修改，每当一个人完成初稿后，都会将其交给另一个人进行审阅和修改。
著书期间的插曲
在《数学原理》的撰写期间，罗素对政治问题依旧保有持续的关注，尤其是自由贸易与帝国主义的问题。原先，伯特兰·阿瑟·威廉·罗素受到休因斯关于帝国主义和关税同盟的影响，但在1901年经济危机后，他的观点出现了显著的转变。他开始坚定地支持自由贸易，并转变为和平主义者，这一转变反映了他对时代变迁的敏锐洞察和深刻思考。
1902年，罗素加入了“系数”小会餐俱乐部，与悉尼·韦伯 (Sidney James Webb）在内的成员从帝国主义的视角探讨政治问题。罗素在这个俱乐部中，被部分成员对战争的狂热渴望感到震惊，这与他自身的和平主义立场形成鲜明对比。与此同时，伯特兰·阿瑟·威廉·罗素还积极投身于妇女参政权的运动中。他认识到争取更广泛的公民权更符合当时执政的自由党人的利益，并最终选择脱离正统的妇女参政权团体，转而加入倡导成年人参政的团体，以此表达他对民主与平等的坚定追求。此外，伯特兰·阿瑟·威廉·罗素还参与了与皇家学会相关的筹款活动，从中汲取了团队合作和资金管理的经验教训，为日后的工作和研究提供了有益的参考。
摹状词与类型论的提出
在撰写《数学原理》一书期间，阿尔弗雷德·怀特黑德已经积欠了剑桥大学商人们大笔账款，为了分担怀特海的养家义务，并促使他继续完成《数学原理》的撰写，伯特兰·阿瑟·威廉·罗素开始暗地里向伊芙琳提供必要的钱财，捐出自己得到的所有资金甚至为此借款。
1903年和1904年两个夏天，罗素在撰写上遇到了逻辑思维和情绪上的双重打击，他一边下定决心，不让任何困难阻止自己完成《数学原理》，但也非常怀疑自己的全部余生都会耗费在这堆白纸上。1905年，伯特兰·阿瑟·威廉·罗素和妻子搬至牛津大学附近新建的房子，并发现了“摹状词理论”，开启了解决罗素逻辑思维问题的第一步。他认识到，摹状词在一个非常重要的方面与实词不同:它们在单独使用时不具任何意义，只是当它们组合在句子中时才赋子意义。伯特兰·阿瑟·威廉·罗素也开始进一步解构此前的悖论困扰。
罗素曾将相关推论写为《指称论》（On Denoting）于1905年送交《精神》（Mind）杂志的编辑斯托特教授，也因此发现其适用于日常生活语言描述的论证，也同样适于基本上属于数学方面的逻辑悖论。1906年5月，伯特兰·阿瑟·威廉·罗素特别论述了其中的一种方法，即“类型论”（Theory of Types），抛弃了“类”的概念和“一般命题”的概念，他认为这些都仅仅是人们头脑中的臆想，试图以排除识别类别的必要性，来削弱悖论的力度。
对于叙述理论的精确表达法，罗素写为1908年《美国数学杂志》（American Journal of 数学）的《以类型论为基础的数理逻辑》（Mathematical Logic as Based on the Theory of Types）一文，将五年前写入《数学的原理》一书中的一些粗线条的内容发展成为一种成型的理论。但对于伯特兰·阿瑟·威廉·罗素的解决办法，阿尔弗雷德·怀特黑德并不完全接受，罗素则认为自己心头的云雾尽散，已见晴空，自发现类型论以后他只想写完一本关于这一理论的书。
完稿与出版
在著书的后半阶段，怀特海被自己的教学工作打断，伯特兰·阿瑟·威廉·罗素开始承担剩余工作的绝大部分内容。从1907年到1910年，罗素每年约投入8个月时间，每天10到12小时去完成《数学原理》的写作。该书的手稿在罗素的房子里堆积如山，乃至于他每次外出散步都会害怕房子失火而过度紧张。工作和心理的双重压力令罗素几近崩溃，他甚至一度站在牛津大学附近的肯宁顿的人行桥上，望着行驶的火车准备一跃而下。
1909年春，《数学原理》完稿在即，伯特兰·阿瑟·威廉·罗素与阿尔弗雷德·怀特黑德夫妇一起去康沃尔度过了一个短暂的假期，开始面对没有《数学原理》相累的未来，但罗素依然心心念念着完成完成书著，等到出版问世后对阿尔弗雷德·怀特黑德能有经济上的帮助。同年秋天，怀特海开始洽谈出版事宜。伯特兰·阿瑟·威廉·罗素认为此时已经是“茫茫大海中，陆地已在望”，但《数学原理》依然有着很多难以逾越的障碍，任何一家出版社的排字模具都无法覆盖该书中全部字符代码，其过长的篇幅也让出版商不得不向二人提出修改建议。对于删减问题，怀特海认为应删去了该书对各种学术流派"最具力度”的或者说最富永久性的论述，伯特兰·阿瑟·威廉·罗素对此表示赞同。
1910年《数学原理》终于成书，共计三卷、五百页，并于1913年正式出版。出版前，剑桥大学出版社预计该书的出版将造成600英镑的亏损，决定与作者利润五五分成，条件是皇家学会或其他渠道出300英镑赞助费。但皇家学只出资200英镑，伯特兰·阿瑟·威廉·罗素与阿尔弗雷德·怀特黑德则自掏腰包，每人贴补了50英镑。出版社为第1卷印刷750本，第2、3卷各印500本。在1911年第二卷印刷过程中，怀特海发现了符号主义的困难，导致出版进程被打乱。为了解决这个问题，在第二卷的开头插入了一个长篇的“符号约定序言”。此外，在《数学原理》第三卷之后，怀特海还有写作了关于几何学的第4卷，但并未完成及出版。
后续与再版
伯特兰·阿瑟·威廉·罗素曾认为自己一经完稿将会感到一种轻松和如释重负，但在书稿真正脱手后却带来精神上的解脱和空虚，以至于自己的个人生活因撰写《数学原理》这一工作消失而乱成一团。
1922年美国哲学家鲁道夫·卡尔纳普（Paul Rudolf Carnap）向伯特兰·阿瑟·威廉·罗素索要《数学原理》的副本时，这部作品已经售罄。作为回应，罗素向卡尔纳普发送了一份35页的手写摘要，其中包含了该作品的一些重要定义和定理。由于无法获得用于第二次印刷的印版，伯特兰·阿瑟·威廉·罗素开始该书准备第二版，并于1925至1927年出版。第二版中，第一卷与新的引言一起重新排版，并附有三个附录；第二卷也进行了重新排版；第三卷是通过影印复制，所以页码与第一版第三卷相同。
在完成该书后，师生两人逐渐关系冷淡。在《数学原理》第二版中，罗素在书中加入了一些新的思想理论，但依旧用两人共同署名，对此，怀特海自1925年起直到逝世前都对其不满并不能释怀。
1999年，兰登书屋（Random House）的《当代文库》（The Modern Library）编辑委员会选出本世纪百大最佳英文非小说，《数学原理》位列第23位。
影响
哲学研究
作为逻辑主义哲学的代表作，《数学原理》试图将数学建立在逻辑的基础上，这一逻辑主义的立场对后来的哲学研究产生了重要影响，尤其是在数学哲学和逻辑哲学领域，这一逻辑主义的立场对20世纪的数学哲学和数理逻辑产生了重要影响。如书中引入的哲学概念——命题函数、逻辑构造和类型理论等，对哲学的其他领域产生了广泛影响；伯特兰·阿瑟·威廉·罗素在书中运用了新的数理逻辑工具来分析传统的哲学问题，其阐述的逻辑系统和方法论启发了后来的数学家和逻辑学家，包括库尔特·卡塞雷斯（Kurt Gödel）的不完全性定理。
该书的出版也持续激发着后来的哲学探索。它提出的诸多问题和解决方案，成为了后续哲学家研究和讨论的重要基础，也同时推动了哲学教育和研究的进步，特别是在逻辑学和数学哲学这两个领域，为哲学研究者提供了全新的研究工具和思考视角，促进了哲学与科学之间的对话，尤其是在逻辑学、数学和哲学的交叉领域。
数学理论
《数学原理》尝试系统化地推导出数学理论，为后来的数学逻辑研究提供了重要的基础和工具。这些研究领域包括模型论、证明论和递归论等。
在数学概念方面，《数学原理》通过逻辑概念来表述数学概念，并尝试仅用逻辑原理来推导数学原则；为了克服逻辑和数学中的一些悖论，引入了类型理论，特别是复杂的“类型化理论”（Ramified theory of types），并为解决类型理论中出现的一些问题引入无穷公理（Axiom of infinity）和可还原性公理（Axiom of reducibility），这些公理和理论的引入，使得《数学原理》在处理数学概念和原则时，采取了与当时主流的公理集合论不同的方法；避免了将数学分析归结为算术的方法，这与当时的公理化集合论有所不同等。共同为物理和几何学中数学的应用提供了理论支持，并明确了数学与逻辑之间的复杂关系，以及数学推导中逻辑的作用和限制。
此外，《数学原理》一书的出版对数学教育和研究产生了影响，尤其是在高等数学和逻辑学的教学中，它为数学家和逻辑学家提供了新的工具和视角。
计算机科学
在计算机科学的基础理论方面，《数学原理》的形式逻辑奠定了程序设计语言构建的理论基石，书中引入的类型理论，通过确保程序逻辑的严密性，帮助避免了类型错误，在现代编程语言如ML和Haskell中得到了体现。同时，该书也为数据结构的设计、类型理论的发展、形式系统的构建、计算理论的研究、模型论的应用、计算机逻辑的深化以及数理逻辑在程序验证中的运用提供了坚实的理论支撑。
在计算机算法方面，《数学原理》展示了逻辑如何用于构建算法和计算模型，为理解计算机执行任务的方式和算法设计提供了重要的逻辑基础。其中的递归函数和计算理论是理解计算机计算能力的核心；而其中的数理逻辑工具，也在自动定理证明和知识表示等计算机科学领域中发挥着重要作用，如命题逻辑和谓词逻辑等；在应用方面，《数学原理》关于逻辑构造和命题函数的理论推动了人工智能领域的发展，如知识表示、逻辑推理和自然语言处理等方面，书中对数学和逻辑的系统化处理也为计算机应用的复杂性提供了方法论上的支持。此外，数学家们在20世纪50年代开始利用计算机研究《数学原理》中一些定理的证明，也取得了突出的成果。
语言与认知
伯特兰·阿瑟·威廉·罗素提出了基于感觉材料的逻辑构造论，这一理论试图消解自然语言的本体论设定，提升语言表达的精确性。作者在书中通过展示逻辑如何澄清日常语言中的模糊性，促进了语言的清晰和精确表达。对命题函数的讨论，为语言表达的意义和指称提供了理论基础。此外，书中的类型理论为分析语言和思维的分类与层级结构提供了工具，有助于深化人类社会对语言逻辑结构和认知功能的理解。
在思维认知方面，《数学原理》对知识的分类和性质进行了深入探讨，区分了真理的知识与事物的知识、亲知的知识与描述的知识；提出的逻辑构造理论帮助我们理解概念构建和认知过程，特别是在知识表示、逻辑推理和自然语言处理等方面，并在构建模拟人类认知的过程中提供了系统化处理方法。通过对《数学原理》的解读，有助于学者对语言哲学和逻辑学的交叉研究，深化了人类语言与思维之间关系的理解，同时避免了语言“悖论”的产生。
评价
德裔美籍哲学家鲁道夫·卡尔纳普（Rudolf Carnap）评价：阿尔弗雷德·怀特黑德和伯特兰·阿瑟·威廉·罗素通过逻辑斯蒂导出数学已经严格地证明了，数学（不仅算术和分析而且几何）所做的只是这样的结构陈述。
德国数学家赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）评价：任何具备现实头脑的人都不会相信这样一个不自然的体系。
奥地利哲学家路德维希·维特根斯坦（Ludwig Josef Johann Wittgenstein）评价：数学的真正基础是像“1”那样来自算术实践的东西，而不是用几百页篇幅才能推出“1”来的《数学原理》。
马克思主义学者艾伦·伍德（Alan Wood）评价：须知他的书（即伯特兰·阿瑟·威廉·罗素的《数学原理》）已经成了名著，名著可以说就是一本大家没有读过而以为通晓的书。
加拿大阿尔伯特大学哲学系教授伯纳德·林斯基（Bernard Linsky）评价：《数学原理》改变了《数学原则》中的初始命题，带来了新的证明，一些定理和引理随着论题的发展而被删除了，但《数学原则》中尽量多的结果还是被保留下来。 《数学原理》中的命题逻辑系统是一个逐步演化的结果。
专业传记作家罗纳德·W·克拉克（Ronald William Clark）评价：在与艾丽丝婚姻关系破裂后的苦恼岁月里，伯特兰·阿瑟·威廉·罗素与阿尔弗雷德·怀特黑德合作完成了那部使他载入史册的巨著——《数学原理》。这部著作就像马克思的《资本论》一样，更多的是为人们所议论，而不是阅读。但是它第一次打下了数学的基础。
中国社科院哲学研究所主任张家龙评价：以伯特兰·阿瑟·威廉·罗素为代表的逻辑主义在数理逻辑发展史上具有重要的历史地位。阿尔弗雷德·怀特黑德和罗素的巨著《数学原理》是数理逻辑发展史上的一个里程碑，也是经典著作，起了承先启后、继往开来的伟大作用。
英国哲学家克里斯·格雷林（Anthony C.Grayling）评价：他（罗素）在逻辑史和哲学史上的地位已经确立下来。罗素后来在许多活动领域之所以能取得成就，大部分是由于他已经赢得了《数学原理》所赋予他的奥林匹斯山神的崇高地位。
参考资料
Principia mathematica, by Alfred North Whitehead ... and Bertrand Russell.UNIVERSITY OF MICHIGAN LIBRARY.2024-04-16
Principia mathematica, by Alfred North Whitehead ... and Bertrand Russell.UNIVERSITY OF MICHIGAN LIBRARY.2024-04-16
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Principia Mathematica.Stanford Encyclopedia of Philosophy.2024-05-19
【张家龙】罗素的逻辑主义及其在数理逻辑史上的地位.中国哲学网.2024-10-07
The Modern Library list of the century's top 100 works of nonfiction.CNN.2024-06-09
怀特海.豆瓣读书.2023-09-07
Russell’s Paradox.Stanford Encyclopedia of Philosophy.2024-05-27
100 Best Novels.Penguin Random House.2024-06-09
计算机科学对核心数学研究的影响.北京邮电大学.2024-05-05