分部积分法

分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由导数的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分。

公式推导

分部积分法：设及是两个关于x的函数，各自具有连续导数及，且不定积分存在，按照乘积函数求微分法则，则有存在，且得分部积分公式如下

证明：由

或

对上式两边求不定积分，即得分部积分公式，也将其简写为

如果将dv和du用微分形式写出，则亦可得出

上两式就把的积分转化为的积分，即将复杂的被积函数简单化。

例如，要求，则依分部积分法则，令

如此

则按上述公式有

四种典型模式

一般地，从要求的积分式中将凑成dv是容易的，但通常有原则可依，也就是说不当的分部变换不仅不会使被积分式得到精简，而且可能会更麻烦。分部积分法最重要之处就在于准确地选取dv，因为一旦dv确定，则公式中右边第二项中的du也随之确定，但为了使式子得到精简，如何选取dv则要依du的复杂程度决定，也就是说，选取的dv一定要使du比之前的形式更简单或更有利于求得积分。依照经验，可以得到下面四种典型的模式。记忆模式口诀：反（函数）对（数函数）幂（函数）三（角函数）指（数函数）。

模式一

通过对求导数后，中的比u更加简洁，而与v的类型相似或复杂程度相当。

例如，对于形如，，的不定积分（其中为m次多项式），由于对多项式求微分可以降次，且三角函数或指函数的积分则较容易求得，所以可以令，而将另一个函数看成通过分部求得积分。

例如求

首先，

对该式第二项再按此模式进行分部积分，得

故原式

模式二

通过对求导数使得它的类型与的类型相同或相近，然后将它们作为一个统一的函数来处理。例如对形如，，，，等的积分，总是令，则则为一个次的多项式，另一个函数（等）看成。通过分部积分，很容易求出不定积分。

例如，求

而该式第二项为

故原积分式

模式三

利用有些函数经一次或二次求导数后不变的性质，通过一次或二次分部积分后，使等式右端再次产生，只要它的系数不为1，就可以利用解方程的方法求出原积分。

例如，对于积分和

按法则对他们进行分部积分得

这样，所求积分均由另一个积分所表示出来，将这两式相加和相减（即解方程）得到所求积分表达式

以及

这两个通用表达式就可以求出该类型的所有积分式，比如

模式四

对某些形如的不定积分，利用分部积分可降低的次数，求得递推公式，然后再次利用递推公式，求出。

例如，对于积分

当时，

当时，

而该式的第二项又可变换为

将其带入上式，则得到

故

最后，得到统一的递推关系式

定积分

与不定积分的分部积分法一样，可得

简写为

例如

示例

例1：

例2： 

回代即可得到的值。

参考资料

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