分支过程
分支过程，是一种特殊的随机过程，它是一组粒子的分裂或灭亡过程的数学模型。
详解
一种特殊的随机过程，它是一组粒子的分裂或灭亡过程的数学模型。例如，某种生物群中，每一母体（粒子）生育第二代（或不生育），第二代中每一母体又生育第三代……。以Zn表示此群体中第n代的个体数,{Zn,n=0,1,2,…}便是一分支过程。又如，原子反应中的中子数也构成分支过程。以下设Z0=1，见。
离散时间的分支过程 设时间参数为n＝0,1,2，…，在分支过程理论中起重要作用的是分裂概率pk，它是任何一代的一个粒子分裂为k个的概率(k=0,1,2,…)。其母函数（见概率分布）记为。假设各个粒子的分裂是独立进行的，这种分支过程{Zn}通常称为高尔顿－沃森过程（简称G-W过程）,它是一个马尔可夫链（见马尔可夫过程）。
利用g(s)可求出有关{Zn}的下列诸量。若已知第n代的粒子数,则下一代粒子数Zn+1=j的转移概率为中sj的系数。以gn(s)表Zn的母函数:。由于Z0=1,g0(s)=s；从而可求出中si的系数。Zn的均值EZn=mn,其中m=EZ1=g┡(1)。
关于Zn的极限性质有：
通常还关心群体是否会绝种的问题。设 0\u003cp0\u003cp0+p1\u003c1。以q表灭绝概率，即。可以证明q是方程g(s)=s (0≤s≤1)的最小根。又q=1,若 m≤1；q\u003c1，若 m\u003e1，这时还有,亦即粒子有无限增多的危险。
G-W过程的一般化 设有m（≥2）种不同的粒子A1，A2,…Am,以表第n代（或时刻n）的第k种粒子的个数，k=1,2,…,m,则构成取值于m维格子点空间的马尔可夫链。称{Zn，n=0，1，2,…}为多种类G-W 过程。以表Al中一个粒子分裂为Ak中jk个粒子(k=1,2,…,m)的概率。与上述g相仿，引进
,
可以类似地研究 {Zn}的转移概率、Zn的分布以及第l种粒子灭绝的概率ql等等。
连续时间分支过程 设时间参数t≥0连续,b(t)Δt表示在短时间(t,t+Δt)中发生一次分裂的概率，pk(t)表示一个粒子分裂为k个的概率(k =0,1,2,…)。若b(t)、pk(t)连续，b(t)\u003e0，,则在时刻t的粒子数Z(t)构成一连续时间马尔可夫链，于是可利用后者的理论来研究{Z(t)}。若b(t),pk(t)不依赖于t,则{Z(t)}是齐次的马尔可夫链，这时可以得到许多类似于对 G-W 过程所得到的结果。
参考书目
T. E.Harris,The Theory of Branching Processes,Springer-Verlag,Berlin,1965.
K.B.Ashreya and P.E.Ney，Branching Processes,Springer-Verlag,Berlin,1972.
相关连接
分支过程的正则性http://www1.chkd.cnki.net/kns50/XSearch.aspx?KeyWord=%e5%88%86%e6%94%af%e8%bf%87%e7%a8%8b%e7%9a%84%e6%ad%a3%e5%88%99%e6%80%a7
具有扩散的分支过程http://www1.chkd.cnki.net/kns50/XSearch.aspx?KeyWord=%e5%85%b7%e6%9c%89%e6%89%a9%e6%95%a3%e7%9a%84%e5%88%86%e6%94%af%e8%bf%87%e7%a8%8b