度量张量

在黎曼几何里面，度量张量，物理学译为度规张量，是指用来衡量度量空间中距离及角度的二阶张量。

介绍

在伯恩哈德·黎曼几何里面，度量张量（英语：Metric tensor）又叫黎曼度量，物理学译为度规张量，是指一用来衡量度量空间中距离，面积及角度的二阶张量。

当选定一个局部坐标系统，度量张量为二阶张量一般表示为，也可以用矩阵表示，记作为G或g。而记号传统地表示度量张量的协变分量（亦为“矩阵元素”）。

定义

a到 b的弧线长度定义如下，其中参数定为t，t由a到b:

两个切矢量的夹角，设矢量和和，定义为：

若 f为 到的局部微分同胚，其诱导出的度量张量的矩阵形式G，由以下方程计算得出：

J 表示f的雅可比矩阵，它的转置为。著名例子有之间从极坐标到直角坐标的坐标变换，在这例子里有：

这映射的雅可比矩阵为

所以

这跟微积分里极坐标的伯恩哈德·黎曼度量，一致。

例子

二维欧几里德度量张量：

弧线长度转为熟悉微积分方程式：

在其他坐标系统的欧氏度量：

极坐标系：

圆柱坐标系：

球坐标系：

平面赫尔曼·闵可夫斯基空间：

在一些习惯中，与上面相反地，时间ct的度规分量取正号而空间 的度规分量取负号，故矩阵表示为：

参考资料

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