文氏图

文氏图（Venn diagram），也称维恩图、欧拉图，是集合的一种直观表示法。用一个圆或封闭曲线围成的平面区域表示一个集合，并且在需要时把需要元素写在区域内，或用区域内的点表示集合元素。

利用圆表示集合的做法始于18世纪的欧拉（Euler,L.）。文氏图是由英国约翰·维恩（John Venn）在1880年左右发明的，对欧拉方法进行了改进。用叉与连锁叉表示 “不空”的方法是麦克诺顿（McNaughton,R.）给出的。

文氏图可表示二元集合的交集、并集、相对补集、绝对补集等运算。在讨论大于两个以上的集合之间的关系时，文氏图有相应的规定。利用文氏图解的问题有较为常见的五种类型：验证集合公式、验证集合包含关系式、检查集合命题的真假、探讨关于集合的条件的相容性以及分析有限集的基数。文氏图可用于推导容斥定理。

文氏图在数学、逻辑学、计算机中都有相应的应用。如在概率论中可用文氏图表示事件的交集、并集等。

简史

19世纪初，数学界对数学分析基础的批判运动促进了集合论的诞生。格奥尔格·康托尔在1874年提出了集合的定义：“一个集合就是我们的直观或我们的思想上那些确定的、能区分的对象（它们称为集合的元素）汇集在一起，作为一个整体来考虑的结果。”这里用汇集来定义集合是同义语反复。之后人们认识到集合是一个原始的概念，不能用其他概念来定义，而只能加以描述或说明。在集合概念产生后，进一步定义了集合的子集、交集、并集、映射等系列概念。

利用圆表示集合的做法始于18世纪的莱昂哈德·欧拉（Euler,L.）。文氏图是由英国约翰·维恩（John Venn）在1880年左右发明的，对欧拉的方法进行了改进。剑桥大学的彩色玻璃窗上有对他这个发明的纪念。用叉与连锁叉表示 “不空”的方法是麦克诺顿（McNaughton,R.）给出的。

表示方法

常用矩形表示全集。用矩形内画的圆或封闭曲线表示全集的子集或。子集的补集可用同时在矩形内部封闭曲线外部表示。

二集合文氏图

利用文氏图可以直观地表示两集合之间的关系。

交集

给定任意集合和，由集合和的所有共同元素组成的集合为，则称和集合和的交集，记作。若，称集合、不相交。

并集

给定任意集合和，由集合和的所有元素组成的集合为，则称集合和集合的并集，记作。即有。

相对补集

设、为任意两个集合，所有属于但不属于的元素构成的集合称作集合相对于集合的补集或相对补集，记作 。即。

绝对补集

设为全集，对任一集合关于的补集称为集合的绝对补集，记为。即

直和

设、是任意两个集合，把所有属于或但不同时属于和的元素构成的集合称为和的之和（也叫绝对差）记作。

多集合文氏图

在讨论几个集合之间的关系时，需要把它们画在同一张文氏图上，为使其仍能表示集合间的关系，因此有如下规定：

1.在一个区域内画上水平影线表示该区域是空的。

2.在一个区域内画上叉（×）表示该区域不空，但需没有横线“—”与其他区域的叉相连。如下图中的叉表示。

3. 几个区域中至少有一个不空时，把这几个区域都画上叉，并用短线“-”相连，形成连锁叉。如下图表示。

4.若水平影线盖上一条连锁叉所在的某几个区城，而不是每个区域，则认为影线压倒叉，有影线的区域仍是空的。如下图表示，，等。

5.若水平影线盖住一条连锁叉所在的每个区域，或盖上一条单一叉的区域，则认为图形表示的条件是不相容的。如下图表示条件及是相互矛盾的。

文氏图解

文氏图解也称欧拉图解，是集合问题的一种解法。利用文氏图直观地解答集合问题称为文氏图解。文氏图解的问题有较为常见的五种类型：验证集合公式、验证集合包含关系式、检查集合命题的真假、探讨关于集合的条件的相容性以及分析有限集的基数。

验证集合公式

例如，验证时，作如下文氏图，可见等式两端所表示的集合都是图中垂直影线部分，故等式成立。

验证集合包含关系式

例如，验证时，作如下文氏图，可见是图中画有垂直影线的部分，而是图中画有水平影线的部分，它包含了前一种影线画出的部分，故所验证的包含关系式成立。

检查集合命题的真假

例如，有集合命题。则可发现，与可用同一个文氏图表示，故命题成立。

探讨关于集合的条件的相容性

例如，有一组条件要考查它们是否相容。作出这组条件的文氏图，可见这组条件是矛盾的。

分析有限集的基数

例题 70个学生参加体育测验，获优秀成绩情况如下：短跑31人，跳高跳远29人，投掷36人，短跑与投掷12人，三项均优秀5人，跳高跳远单项优秀7人，投掷单项优秀15人。求获短跑单项优秀人数、获两项优秀人数与未获优秀人数。

解答 作出文氏图，通过分析填入数字，可知获短跑单项优秀11人，获两项优秀者24人，未获优秀的8人。图中＝｛获短跑优秀者｝，＝｛获跳高跳远优秀者｝，＝｛获投掷优秀者）。

相关定理

容斥原理

如果集合和集合是有限集，则容斥原理公式为：。

证明 这一定理的证明，可以采用文氏图推导。由图可得：

应用

数学

在数学中，文氏图常用于集合论的教学和研究中，用于直观地表示集合之间的关系，包括并集、交集、差集等操作。文氏图也在概率论和统计学中有应用，用于表示事件之间的关系和交集等。

逻辑学

在逻辑学中，文氏图被用于表示命题之间的逻辑关系，比如表示逻辑命题之间的交集、并集、互斥关系等。它有助于理解逻辑运算和命题之间的逻辑关系。

计算机

在计算机科学中，文氏图被广泛应用于数据可视化和信息检索中。在信息检索中，文氏图可以用于表示不同条件之间的关系，帮助用户理解检索条件的交集和并集关系。此外，文氏图也被用于数据库查询优化、布尔逻辑表达式的简化等方面。

参考资料

Ronald Aylmer Fisher.ucl.2024-02-04