五边形数定理

五边形数定理是一个由欧拉发现的数学定理，描述欧拉函数展开式的特性。

定理内容

欧拉函数的展开式如下：

即

欧拉函数展开后，有些次方项被消去，只留下次方项为1, 2, 5, 7, 12, ...的项次，留下来的次方恰为孟目的五边形数。若将上式视为幂级数，其收敛半径为1，不过若只是当作形式幂级数来考虑，就不会考虑其收敛半径。

和分割函数的关系

欧拉函数的倒数是分割函数的母函数，亦即：

其中 为k的分割函数。上式配合 五边形数定理，可以得到：

考虑 项的系数，在 时，等式右侧的系数均为0，比较等式二侧的系数，可得：

因此可得到分割函数的递归式

以为例

参考资料

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