比例

比例（proportion）是一个数学术语，是表示两个或多个比相等的一个等式，比例源自度量，但可以解决一些不可度量属性具有的可比性。例如，如果 a、b、c 和 d 是整数，则比例写为 a：b = c：d 或 a/b = c/d 或 b：a = d：c；a、b、c 和 d 这四个数字被称为比例项，其中，第一项a和最后一项d被称为极端项，而第二项和第三项称为平均项。

比例可用于许多日常情况，例如比较尺寸、烹、计算百分比等。比例可以写成等效分数或相等的比率。

解释

简介

比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重，用于反映总体的构成或者结构。

比例分为比例尺和比例两种。表示两个比相等的式子叫做比例。判断两个比能不能组成比例，要看它们的比值是不是相等。组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这是比例的基本性质。求比例其中一个未知项，叫做解比例。

举例说明

①表示两个比值相等的式子叫做比例，如

比例有四个项，分别是两个内项和两个外项；在中，其中7与27叫做比例的外项，9与21叫做比例的内项。

②比如：教师和学生的～已经达到要求。

③比如：在所销商品中，国货的～比较大。

④比例写成分数的形式后，那么，左边的分母和右边的分子是内项；左边的分子和右边的分母是外项。

⑤比例的基本性质：在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。

正反比例

正比例

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中相对应的两个数的比值(商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做线性关系。如果用字母x和y表示两种关联的量，用k表示它们的比值，成正比例关系可以用下面式子表示：（一定）

反比例

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种关联的量，用k表示它们的乘积，成反比例关系可以用下面式子表示：（一定）

反比例性的概念可以与直接相称性进行对比。考虑两个变量被认为是“相互成比例”的。如果所有其他变量保持不变，如果另一个变量增加，则一个反比例变量的幅度或绝对值减小，而其乘积（比例常数k）总是相同的。

如果每个变量与另一个变量的乘数相反（倒数）成正比，则两个变量成反比（也称为反向变化，反向变异，反比例），如果其乘积是一个常数。因此，如果存在非零常数k，则变量y与变量x成反比：

或等价于。因此，常数是x和y的乘积。

例如，旅途所需的时间与旅行速度成反比；挖洞所需的时间（大概）与挖掘人数成反比。

在勒内·笛卡尔坐标平面上反向变化的两个变量的曲线图是矩形双曲线。曲线上每个点的x和y值的乘积等于比例常数（k）。既然x和y都不能等于零（因为k是非零），所以图形从不跨任一个轴。

如何判断

在解决此类问题过程中要紧紧抓住正反比例的意义，一是看不是两种相关联的量，二看这两个量之间的商一定还是积一定的。商一定，两个量成正比例；积一定，两个量成反比例。其次在解决实践应用问题时要注意比和比例，以及它们和分数之间的关系。然后再综合所学过的知识进行解答。

区别

比表示两个数相除（有两项，前项和后项），比例表示两个比相等的式子（有四项，两个内项，两个外项）。

解比例

比例分为比例尺和比例。表示两个比相等的式子叫做比例。判断两个比能不能组成比例，要看它们的比值是不是相等。

在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。解比例都是运用比例的基本性质来解的，因为两外项的积等于两内项的积，所以我们可以把两个外项和内项互相乘起来，再来解这个方程。比如：x:3= 9:27

解法：

解：

比例具有如下性质：

若，则有

1） （即比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积）

2） （交换比较，结果仍然相等）

3）

4）

5）

6）

证明过程如下

令 ，

1）

2）显然

3）;结合性质2有

4）

；即

时，结合性质2有

且 ……①

5）

……②

即

时，结合性质2有

6） ②-①，等式两边同时相减得

7) 做做此题：一个长方形，比为，长方形的周长是80米，求它的长和宽。

（有意者，请做在后面。）

假设长方形长为5x，宽为3x，那么：

长：宽：

答：这个长方形的长是25米，宽是15米。

或：

两个长： （米）

两个宽： （米）

长： （米）

宽： （米）

答：这个长方形的长是25米，宽是15米。

或：

长： （米）

宽： （米）

答：这个长方形的长是25米，宽是15米。

参考资料

Proportions – Explanation & Examples.storyofmathematics.2024-01-27

Proportion Formula.cuemath.2024-01-27

Terms of a proportion.math.net.2024-01-27