常微分方程
常微分方程（英文：Ordinary Differential 方程，简称QDE）是联系自变量、未知函数以及它的导数的关系式。其定义为：如果方程中的未知函数是一元函数，即只含一个自变量的微分方程，称为常微分方程。
常微分方程的发展最早可追溯至16世纪末。1590年，意大利天文学家伽利略·伽利莱（G.Galileo）在比萨斜塔自由落体实验中，通过求解微分方程发现了物理的运动规律。1676年，德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨（G.W.Leibniz）在给牛顿的信中首次提出“微分方程”的数学术语。1743年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（L.Euler）给出了“通解”和“特解”等概念。1754年，法国数学家拉格朗日（J.L.Lagrange）在解决等时曲线问题过程中创立了变分法，提出了求解任意阶变系数非齐次线性常微分方程的常数变易法。18世纪末，常微分方程发展成为了一个独立的数学分支。
19世纪初至19世纪中期，微分方程发展出了一套包括解的存在性、唯一性、延伸性，以及解的整体存在性、解对初值和参数的连续依赖性和可微性等基本理论的适定性理论体系。1876年，德国数学家李普希茨（Lipschitz）提出了著名的“李普希茨条件”，对解的存在唯一性定理做出进一步改进。1881年，法国数学家亨利·庞加莱（Poincare）创立了常微分方程的定性理论，开启了从“求定解问题”转向“求所有解”的新时代。至20世纪60年代，随着计算机技术的发展，常微分方程从“求所有解”转入“求特殊解”的时代。
常微分方程可根据方程阶数、方程个数等分类，其中高阶方程的求解往往较为复杂，可以对一些特殊类型的方程进行降阶处理，如不显含未知函数的方程等。在随机过程理论中，常微分方程可推广得到伊藤积分方程。此外，该概念可广泛地应用在自然科学和社会科学等领域，如在金融学中，多指标正则化基因表达式编程算法的高阶常微分方程模型能够刻画股价随时间的变化趋势，有效且准确地描述数据波动。
定义
微分方程是联系着自变量、未知函数以及它的偏导数的关系式。在微分方程中，自变量的个数只有一个，称微分方程为常微分方程；自变量的个数为两个或两个以上，则称为偏微分方程。
一般形式：凡是联系自变量，自变量的未知函数，及其直到阶导数在内的函数方程
叫作常微分方程。导数实际出现的最高阶数叫作常微分方程的阶。
简史
起源与创立
常微分方程的发展最早可追溯至16世纪末。1590年，意大利天文学家伽利略·伽利莱（G.Galileo）在比萨斜塔自由落体实验中，通过求解微分方程发现了物理的运动规律，建立了自由落体运动定律。
英国的艾萨克·牛顿（I.Newton）是第一位着手于求解微分方程的数学家，1671年，他在著作《流数法与无穷级数》中列出了三大微分方程，并用级数方法进行求解。1676年，德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨（G.W.Leibniz）在给牛顿的信中第一次提出“微分方程”的数学术语，并于1691年提出了分离变量法，解决了形如的方程，随后又用变量变换的方法分析了齐次方程、线性微分方程的相关求解问题。
1694年，瑞士数学家雅各布·伯努利（J.Bernoulli）在《教师学报》上进一步完善了分离变量法与齐次方程的求解问题，并在一年之后提出了伯努利微分方程。至此，微分方程开始被作为独立的学科对象进行研究，并逐步从微积分中分离出来。1712年，意大利数学家黎卡提（Riccati）在研究曲线的曲率半径过程中，发现了形式上最简单的一类非线性微分方程，并于1724年给出了方程的具体形式。后来，让·达朗贝尔（J.L.R.D'Alembert）将该方程命名为黎卡提方程，并与欧拉（L.Euler）等人尝试求解方程，但都只得到了一些特殊条件的解。
丰富与独立
后来，常微分方程理论的研究逐渐丰富，很多求解方法随之诞生。1734年，瑞士数学家欧拉（L.Euler）给出了判定全微分方程的充要条件，随后又引入了积分因子的概念。随后，他在潮汐和行星轨道摄动等著作中应用了常数变易法，并于1743年发表的论文中，最早给出了“通解”和“特解”等概念。1753年，欧拉通过将方程的阶数逐次降低，发表了求解常系数非齐次线性方程的方法，并在之后的工作中把积分因子法应用于许多一阶微分方程类型，还推广到了高阶方程。之后，他在研究黎卡提方程的性质过程中，给出了一个从特殊积分鉴别奇解的判别法。
1754年，法国数学家约瑟夫·拉格朗日（J.L.Lagrange）在解决等时曲线问题过程中创立了变分法，1763年，数学家让·达朗贝尔（J.L.R.D'Alembert）发现非齐次线性方程的通解等于齐次方程的通解加上一个非齐次方程的特解。随后，拉格朗日引入伴随方程的概念，通过伴随方程可使原方程的阶数降低，提出了求解任意阶变系数非齐次线性常微分方程的常数变易法。至18世纪末，常微分方程发展成为了一个独立的数学分支。
完善与发展
1820年，法国数学家奥古斯丁-路易·柯西（Cauchy）最早证明了微分方程初值问题解的存在唯一性定理，拉开微分方程从求通解到定解的序幕。1841年，约瑟夫·刘维尔（Liouville）证明了在一般情形下，黎卡提方程的解是无法用初等函数的积分来表达的。至19世纪中期，微分方程发展出了一套包括解的存在性、唯一性、延伸性，以及解的整体存在性、解对初值和参数的连续依赖性和可微性等基本理论的适定性理论体系。1874年，挪威数学家索菲斯·李（Sophus Lie）在研究微分方程时，发现某些微分方程的解对一些连续变换群是不变的，解决了解的可积性问题。
1876年，德国数学家李普希茨（Lipschitz）提出了著名的“李普希茨条件”，对奥古斯丁-路易·柯西给出的解的存在唯一性定理做出进一步改进。随后，意大利数学家皮亚诺（Peano）和法国数学家皮卡德（Picard）先后于1875年和1876年给出了常微分方程的逐次逼近法，完善了研究常微分方程的基础理论，包括解的存在性及唯一性、解的延拓、解对初值和参数的连续依赖性和可微性、奇解等。1881年，法国数学家亨利·庞加莱（Poincare）创立了常微分方程的定性理论，开启了从“求定解问题”转向“求所有解”的新时代。至20世纪60年代，美国数学学家洛伦茨（Lorenz）发现了称为洛伦茨方程的常微分方程，导致了混沌现象的发现。随着计算机技术的发展，常微分方程进入了新的时期，从“求所有解”转入“求特殊解”的时代。
相关概念
方程的解
常微分方程的解：设函数在区间上连续，且有直到阶的导数。如果把及其相应的各阶导数代入方程，得到关于的恒等式，即
对一切都成立，则叫作微分方程在区间上的一个解。
通解：设阶微分方程的解包含个独立的任意常数，则称它为通解。不被通解包含的解称为奇异解。
特解：如果微分方程的解不包含任意常数，则称它为特解。特别地，当任意常数一旦确定之后，通解也就变成了特解。
特别地，非线性自治微分方程：假设一个运动质点在时刻的空间位置坐标为，并且假设它的运动速度只与空间位置有关而与运行时间无关，即在点的运行速度为，则得到的运动方程
它是一个非线性自治微分方程。该类非线性方程一般都无法求得显式解，因而对非线性自治微分方程做专门研究是非常必要的。
分类
一阶与高阶方程
设常微分方程中未知函数的导数的最高阶数为，则
（1）当时，就称为一阶常微分方程。
（2）当时，称为高阶常微分方程。
一阶常微分方程的一般式为
或
又称为一阶隐式方程，相应称为一阶显式方程。
线性与非线性
设常微分方程中关于未知函数及其导数的方幂的最高次数为，则
（1）当时，称为线性常微分方程。
（2）当时，称为非线性常微分方程。
例如，线性常微分方程
；
非线性常微分方程
。
齐次与非齐次
考虑一般的一阶一次方程
假设都是连续函数，并且，用除等式的两边，并把它改写为：
称为与对应的齐次一次方程。与不同，方程左端虽然关于是一次，但右端关于来说是零次的，故称为非齐次线性方程。
方程与方程组
设常微分方程的未知函数的个数及方程的个数均为，则
（1）当时，就称为常微分方程。
（2）当时，称为常导数方程组。
相关定理
全局解
李普希茨条件：如果存在常数，使得不等式对都成立，则称函数在区域内关于满足李普希茨（Lipschitz）条件，常数称为李普希茨常数。其中，为闭矩形区域上的连续函数。
存在唯一性定理
若函数在区域上连续，且关于满足李普希茨条件，则常微分方程的初值问题
在区间上存在唯一解，其中常数
。
举例 方程定义在矩形区域上，求确定经过点的解的存在区间。
解：设，显然在上连续，且在上也连续，由存在唯一性定理知，过点，方程存在唯一解，定义在上。其中，，于是即解定义上。
局部解
局部李普希茨条件：若函数在区域内连续，且对内每一点，都存在以点为中心，完全含在内的闭矩形域，使得在上关于满足李普希茨条件（对于不同的点，闭矩形域的大小和李普希茨常数可能不同），则称在上关于满足局部李普希茨条件。
解的延伸定理
如果方程的右端函数在（有界或无界）区域上连续，且在关于满足局部李普希茨条件，则对任意一点，方程以为初值的解均可以向左右延展，直到点任意接近区域的边界。
解对初值的连续依赖性定理
设维向量函数在空间的某个开区域上连续，且对满足局部李普希茨条件。假设是微分方程
的一个解，其存在区间为。在区间内任取一个有界闭区间，则存在常数，使得对任何满足下列条件
的初值初值问题
的解至少在区间上存在，并且它对在区域
上连续的。
解对参数的连续可微性定理
设向量函数在区域
上是连续的，且对和有连续的偏导数。则初值问题的解在区域
上是连续可微的，其中，正数为在区域的一个上界。
特殊类型
一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理问题的基本原则是降阶，一般会利用变换把高阶方程的求解问题化为较低阶的方程来求解。下面讨论三类特殊方程的降阶问题。
不显含未知函数的方程
设方程不显含未知函数，即形如
方法：若令，则方程即降为关于的阶方程
如果能求得上式方程的通解，即，再经过次积分得到，其中为任意常数，可以验证，这就是方程的通解。
特别地，若二阶方程不显含（相当于的情形），则用变换便把方程化为一阶方程。
不显含自变量的方程
假设方程中的未知函数为，自变量为，不显含自变量的方程
方法：若令，并以它为新未知函数，而视为新自变量，则方程就可降低一阶。
在所作的假定下，，可用数学归纳法证明，可用表出（），将表达式代入方程可得到，它是关于的阶方程，比原方程低一阶。
齐次线性方程
考虑齐次线性方程
方程求解问题归结为寻求方程的个线性无关的特解。如果知道方程的一个非零特解，则利用变换，可将方程降低一阶；或更一般地，若知道方程的个线性无关的特解，则可通过一系列同类型的变换，使方程降低阶，并且新得到的阶方程也是齐线性的。
方法：设是原方程的个线性无关解，显然。令，直接计算可得
将关系式代入原方程得到，它是关于的阶方程，且各项系数是的已知函数，而的系数恒等于零，因为是的解。因此，如果引入新未知函数，并用除方程的各项，便得到形状如
的阶齐次一次方程。
方程的解和的解之间的关系，由以上变换可知为或，因此，对于方程，就知道它的个线性无关解。
事实上，是方程的解。假设个解之间存在关系式
或
其中是常数。那么，就有
或
由于线性无关，故必有，即是线性无关的。
类似地，若对方程重复以上变换做法，令，则可将方程化为关于的阶齐次一次方程
并且还知道方程的个线性无关解
。
由上面的讨论看到，利用个线性无关特解当中的一个解，可以把方程降低一阶，成为阶齐线性方程，并且知道它的个线性无关解；而利用两个线性无关解，则可以把方程降低两阶，成为阶齐线性方程，同时知道它的个线性无关解。依此类推，继续上面的做法，若利用了方程的个线性无关解，则最后就得到一个阶的齐一次方程，即把方程降低了阶。
特别地，对于二阶齐次线性方程，如果知道它的一个非零解，则可求得方程的通解。
计算结果
一阶微分方程
可分离变量的方程
方程：如果一个一阶微分方程可写成（或）的形式，换言之，能把微分方程写成一端只含的函数和，另一端只含的函数和，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。
求解：先分离变量，将方程写成
的形式。再两端积分
设积分后得
；
最后求出由所确定的隐函数
或
或都是方程的通解，其中称为隐式（通）解。
通过上述过程，在求解可分离变量的微分方程时，如式，可以形式上认为对式的左边关于求积分，对式的右边关于求积分，于是就可以求得微分方程的通解。先将微分方程中的变量分离开来，然后求解的方法称为分离变量法，一般地，如果微分方程可以写成
或者
如果，或者且，则有
和
于是，就化成了式的形式，可以像前面一样，通过对方程两端分别对和积分来求出微分方程的通解。
线性微分方程
线性齐次方程
方程：对于一阶线性齐次方程
其中为连续函数，可用分离变量法求解得：
其中，任意常数可等于零。
求解：如果要找方程满足初始条件的解，可先取定为的任一确定的原函数，然后以代入式，得到，从而，把它代入式右边，即得所求的特解为。
线性非齐次方程
方程：对于一阶线性非齐次方程
其中为连续函数，该方程不能用分离变量法求解，可用常数变易法进行求解。
求解：方程的通解为：
。
方程满足初始条件的特解为：
。
伯努利方程
定义：方程称为伯努利方程。当或时，该方程为非齐次或齐次线性方程。伯努利方程可通过变量代换法化为相应的一阶线性方程，求解该一阶线性方程的通解之后，再应用变量代换，便可得出方程的通解。
求解：注意到伯努利方程不是线性的，将方程变形，以除上方程的两端，得
容易看出，上式左端第一项与只差一个常数因子，因此有
做代换，设，则上方程化为
该方程为一阶一次方程，求出该方程的通解后，以代，便得到伯努利方程的通解。
全微分方程
定义：一阶微分方程可写成如下对称形式：
其中，在某区域内是的连续函数，而且具有一阶连续的偏导数。如果存在可微函数，使得，即
则称方程为全导数方程或恰当微分方程。
结论：设在某区域内具有连续的一阶偏导数，方程是全微分方程的充要条件为
。
在上述情形下，方程可写为，于是方程的通解为，其中为任意常数。
二阶微分方程
线性微分方程
方程：二阶线性微分方程一般形式为
其中是的已知连续函数。若，则方程称为二阶非齐次线性微分方程；若则方程
常系数线性方程
方程：形如
的方程，若其中均为常数，为连续函数，则称为二阶常系数线性微分方程。若，则方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程；若，则方程
称为二阶常系数齐次线性微分方程。
求解：齐次： 的通解步骤如下：
（1）写出微分方程的特征方程；
（2）求出该特征方程的两个特征根；
（3）根据两个根的不同情况，分别写出微分方程的通解。
求解：非齐次：
常数变易法：考虑二阶常系数非齐次线性微分方程，由齐次线性微分方程的通解结构定理可知，它对应的齐次方程的通解为
。
可由常数变易法求得二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为
。
待定系数法：当方程的自由项为以下特殊形式，可由待定系数法求得方程的特解。
（1）型，可假设方程有特解：
其中，是与同次的待定多项式，而的取值如下：
（2）型，其中，分别是的次多项式，都为实常数。
对于自由项
，
设其特解为
，
其中，是的次多项式，，的取值如下：
n阶微分方程
线性微分方程
方程：阶线性微分方程一般形式为
其中及都是区间上的连续函数。若，则方程称为阶非齐次线性微分方程；若，则方程
称为方程对应的阶齐次线性微分方程。
结论：齐次：（叠加原理）如果是方程的个解，则它们的线性组合
也是方程的解，其中是任意常数。
是方程的解，它含有个任意常数。
结论：非齐次：考虑阶非齐次线性微分方程，易知是它的特殊情形，直接验证得到如下三个性质：
其中为任意常数，而且通解包括了的所有解。
常系数线性方程
求解：特征方程法：二阶常系数齐次线性微分方程所用的特征方程法以及方程的通解的形式，可推广到阶常系数齐次线性微分方程。
一般形式
其中都是常数。
微分方程的特征方程为
，
根据特征方程的根，可以写出对应的微分方程的解，如下表所示。
求解：非齐次：对于阶常系数非齐次微分方程，二阶常系数非齐次线性微分方程所用求解方法——常数变易法、待定系数法都可推广至阶。另外，当所考虑的阶常系数非齐次线性微分方程右端函数满足拉普拉斯变换的原函数条件时，可借助拉普拉斯变换法求解。
拉普拉斯变换法：对于给定的微分方程
及初始条件
方程的右端函数满足原函数的条件。如果是方程的解，则及其各阶导数
均满足原函数的条件。记
由拉普拉斯变换法即可求得微分方程满足所给初始条件的解的像函数。直接查拉普拉斯变换表或由反变换公式可得方程的解为。
如果所得的像函数在拉普拉斯变换表中找不到对应的形式，需要对像函数进行变形或分解，化成可以在表中找到对应形式因式的线性形式。
推广
伊藤积分
伊藤积分方程是常微分方程的推广。在工程技术应用中，当系统有随机干扰影响时，系统的微分方程需要增加随机因素的影响，其微分方程的形式为
式中是随机过程。当时，，是正态白噪声，为随机因素的影响。已知正态白噪声与维纳过程之间的关系为
由此可得，式在形式上等价于
其积分形式为
在式的两个积分中，第一个是均方积分，第二个积分是伊藤积分。
定义：设为二阶矩过程，为维纳过程，在上进行分割，其分点为
作和式
如果
均方极限存在，则随机变量称为关于维纳过程在区间上的伊藤随机积分，简称伊藤积分，记作
。
从伊藤积分的定义可看出，在积分和中，随机过程在小区间上的取值点并非任意的，由于任意取值将不能保证和的唯一性，因而只取区间开始点的值。
存在定理
设为均方连续的二阶矩过程，对于一切满足，而的和过程独立于增量，则存在且唯一。
应用
金融学
随着经济的发展以及人们投资意识的改变，股票市场的价格数据逐渐成为人们关注的热点。股票价格数据作为一种时间序列数据，它具有一定的滞后性和有较大随机性，且由于国家政策和公司制度等各个方面的影响，存在短期内剧烈波动的可能。传统的预测方法无法准确地表达股价的变化规律，为了更好地衡量数据短期内的波动，可建立一个基于多指标正则化基因表达式编程算法的高阶常微分方程模型，它能够刻画股价随时间的变化趋势，有效准确地描述数据波动。
地理学
在地理学领域，子午线弧长与底点纬度的计算是椭球大地测量学中高斯坐标正算和反算的基础，计算子午线弧长是一个椭圆函数积分过程，底点纬度的求解是非线性方程的求根问题，它们计算过程的本质是解算标准的一阶常微分方程。在传统的算法的精度基础上，可应用基于常微分方程数值解法来进行求解，该算法运算速度更快，且能够高效地计算出到高精度的计算结果，比传统算法更适用于子午线弧长和底点纬度的大数据计算。
计算机科学
计算机科学中，在对并发程序进行静态分析时，经常会遇到状态空间爆炸的问题。在传统的解决方法中，通常使用静态分析方法对并发程序进行死锁检测，但随着程序中的并发结构或异步进程增多，仍然会遇到状态空间爆炸问题。基于常微分方程的死锁检测实验分析方法，通过建立系统的常微分方程模型，分析常微分方程组的解来检测系统中是否存在死锁，可有效避免状态爆炸问题，并具有较强的静态分析能力。