全微分

如果函数z=f(x,y)在(x,y)处的全增量

Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)

可以表示为

Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，

其中A、B不依赖于Δx,Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此时称函数z=f(x,y)在点（x，y）处可导数，AΔx+BΔy称为函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分，记为dz即

dz=AΔx+BΔy

该表达式称为函数z=f(x,y)在(x,y)处(关于Δx,Δy)的全微分。

定义

如果函数z=f(x,y)在(x,y)处的全增量可以表示为，其中A、B不依赖于△x,△y，仅与x,y有关，ρ=

，此时称函数在点处可导数，称为函数在点(x,y)处的全微分，记为dz即。

该表达式称为函数在(x,y)处(关于△x,△y)的全微分。

全增量

为了引进全微分的定义，先来介绍全增量。

设二元函数在点的某邻域内有定义，当变量x、y点(x,y)处分别有增量Δx，Δy时函数取得的增量。

称为在点的全增量。

定理

定理1

如果函数在点处可微，则在处连续，且各个偏导数存在，并且有，。

定理2

若函数在点处的偏导数f′x，f′y连续，则函数f在点p0处可微。

定理3

若函数在点(x,y)可导数，则该函数在点(x,y)的偏导数必存在。

判别可微方法

(1)若在点不连续，或偏导不存在，则必不可微；

(2)若在点的邻域内偏导存在且连续必可微；

(3)检查是否为的高阶无穷小，若是则可微，否则不可微。 

参考资料

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