哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想（英文名：Goldbach’s conjecture）是德国数学家哥德巴赫于1742年给数学家欧拉的信中提出的一个猜想，可分为强哥德巴赫猜想和弱哥德巴赫猜想两种形式。其中强哥德巴赫猜想是指莱昂哈德·欧拉回信中给出的另一个等价的版本，现代的表述为任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和，例如6=3+3，24=11+13，100=97+3等。而弱哥德巴赫猜想则是在这一基础上推出的，即任何一个大于7的奇数都可以表示为三个素数之和。
1742年，哥德巴赫给欧拉写的一封信中首次提到了哥德巴赫猜想，欧拉回信中坚信猜想是正确的，并给出了第二种表述，但他并未给出证明。1900年，戴维·希尔伯特在第二届国际数学家大会上将猜想作为一个问题，引发了数学界的广泛关注。20世纪，数学家戈弗雷·哈代、狄利克雷、维诺格拉多夫、华罗庚、陈景润等人使用不同的方法对这一猜想进行了研究。其中很有代表性的方法为圆法和筛法。
由哥德巴赫猜想引出的三素数定理、陈氏定理的证明，为数论的发展做出了重要贡献。此外，哥德巴赫猜想也出现在一些文化作品中，人们对于它的讨论也将继续持续下去。
猜想内容
1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在给当时的大数学家莱昂哈德·欧拉（Euler）的信中，提出任何一个大于2的整数都可以写成三个素数之和。
强哥德巴赫猜想
1742年6月30日，欧拉在回信中注明哥德巴赫所提出的可以有另一个等价的版本，即任何一个偶数都是两个素数之和。现代的表述为：任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和，例如，，等。长城欧拉的这一表述方式也被称为“强哥德巴赫猜想”或者“关于偶数的哥德巴赫猜想”。
弱哥德巴赫猜想
由强哥德巴赫猜想又可以推出，任何一个大于7的奇数都可以表示为三个素数之和，这也被称为“弱哥德巴赫猜想”或者“关于奇数的哥德巴赫猜想”。后来，人们把能够表示为两个奇素数之和的偶数称为哥德巴赫数，例如，因此为哥德巴赫数。
历史沿革
猜想的提出
哥德巴赫猜想是在1742年6月哥德巴赫（Goldbach)给数学家莱昂哈德·欧拉（Euler）写的一封信中所提到的内容，提出任何一个大于2的整数都可以写成三个素数之和，随后，瑞士数学家欧拉(Euler)给出了对哥德巴赫猜想的初步论证。他将每个偶数表示为一个小于或等于任意素数的和。虽然这个证明不完整，但它为后来的研究提供了重要的启示。1900年，戴维·希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出的著名的二十三个希尔伯特问题之中的第八个问题，即为哥德巴赫猜想，该猜想的证明与讨论开始在数学界引起广泛的关注。
发展与突破
1920年，挪威数学家布朗证明了定理""，由此划定了进攻“哥德巴赫猜想”的“大包围圈”，""，翻译成数学语言即：“任何一个足够大的偶数，都可以表示成其他两个数之和，而这两个数中的每个数，都是9个奇质数之积。在同一时期，英国数学家戈弗雷·哈代和李特尔伍德极大地发展了解析数论，建立起了“圆法”等研究数论问题的有力工具。他们在1923年合作发表的论文中使用“圆法”证明了：在假设广义黎曼猜想成立的前提下，每个充分大的奇数都能表示为三个素数的和以及几乎每一个充分大的偶数都能表示成两个素数的和。19世纪中叶，德国数学家狄利克雷（Dirichlet）在对素数的研究中取得了重要的突破。他证明了对于任意的正整数和，存在着无穷多个形如的素数。这个结果被称为狄利克雷定理，为后来对哥德巴赫猜想的证明提供了有力的工具。
弱猜想的证明
20世纪中叶，著名数学家维诺格拉多夫(Vinogradov)致力于解决哥德巴赫猜想，并在1937年取得了重大突破。他利用估计指数和的方法证明了对任意大的奇数，都可以表示为三个素数之和，即第二个推测是正确的。在1938年，中国数学家华罗庚证明了命题“每一个大于或等于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和”对几乎所有的偶数都成立。1945年，林尼克发展出估计狄利克雷函数零点密度的方法，并用其证明了劣弧上的积分可以忽略，从而用分析方法证明了弱哥德巴赫猜想。陈景润在1973年发表了“”的证明，其中对筛法作出了重大的改进，提出了一种新的加权筛法，因此“”也被称作是陈氏定理。
相关概念
整除
整除的数学定义为：设，且，如果存在整数,使得，则称整除,或能被整除，记作。此时称为的因数，为的倍数。若不存在这样的整数，则称不整除，或不能被整除，记作。
奇数和偶数
能被2整除的整数，如称为偶数，一般用()表示，一般把大于0的偶数称为正偶数。不能被2整除的整数，如称为奇数，一般用或者表示(),一般把大于0的奇数称为正奇数。
素数和合数
若正整数恰好只有1及本身两个正因数，则称为素数（又称质数），若正整数的正因数多于两个，则称为合数（又称复合数）。如数的一个正因数是素数，则称是的一个素因数。
相关证明
圆法
设是正整数，以分别表素变数不定方程
的解数得出:
，
其中，，即第一个猜想和第二个猜想便转化为了 ，即哥德巴赫猜想就转化为讨论式和式的积分了。圆法的思想认为：对充分大的，当和分母“较小”的既约分数“较近”时，三角和就取“较大”的值，当和分母“较大”的既约分数“较近”时，三角和就取“较小”的值。因而式和式中的积分的主要部分应该是在那些分母“较小”的既约分数为中心的一些“小区间”上。
筛法
埃拉托斯特尼筛法是指对一个给定的有限数列的元素进行如下筛选：设是个不同的素数，对每一个给定个对模互不同余的数，即总共给出了个剩余类。中的一个元素，如果它属于上述式子中的某一个剩余类，那么就将它去掉，否则就留下。把经过这样挑选后剩下的子序列记作，是由中所有这样的元素组成的：它不属于由式 给出的任何一个剩余类。由式给出的一组剩余类好像起了一个“筛子”的作用，凡是属于其中某一个剩余类的数就要被这个“筛子”筛去。所以，这一挑选过程被称为筛法。
计算机算法
使用Python语言对哥德巴赫猜想进行验证时, 需要判断给定的数是否是素数。因此在程序中, 函数用于判断给定自然数是否是素数, 设置变量 表示自然数是否是素数,循环变量的范围是到, 如果在循环过程中发现存在除和本身之外的因子, 即, 则立即退出循环, 置为, 最后对进行判断, 若值为 ,则是素数, 反之则不是。例如, 输入的自然数为, 则主程序的循环变量的范围是到, 如果和都是素数, 则证明这是一种分解结果, 输出即可。
在上述程序的基础上, 可以对一定范围内的自然数进行验证, 判断哥德巴赫猜想在某一范围内是否成立。利用函数的特性, 对上述程序中的哥德巴赫猜想验证问题进行封装, 并在主程序中更改循环条件, 函数 用于哥德巴赫猜想验证。
类似猜想
德·普利尼亚克猜想
德·普利尼亚克猜想法国数学家德·普利尼亚克于1849年提出，其内容为：任一偶数都可以表示成无穷多对相继的两个素数之差。而广义德·普利尼亚克猜想的内容为：任一偶数都可以表示成无穷多对（含无穷多对相继的）两个素数之差，且当偶数时，其中其中至少含有一个哥德巴赫素数对。用公式可表示为,其中偶数，为奇素数,。
孪生素数猜想
孪生素数猜想也叫双生素数猜想，即相差为2的素数有无穷多个，或者表述为偶数2可以表示成无穷多对两个素数之差。
相关文化
1978年，散文家、诗人徐迟接受《人民文学》月刊杂志的邀请写作了以陈景润证明“陈氏定理”命题为主题的报告文学《哥德巴赫猜想》。文章在《人民文学》上发表后，产生了很大反响，也令中国大陆普通民众对哥德巴赫猜想留下印象。哥德巴赫猜想是中国民间科学爱好者热衷研究的数学问题之一。在徐迟的报告文学影响下，不少民间科学爱好者对哥德巴赫猜想产生兴趣。
此外，厦门大学还以陈景润为原型推出了原创话剧《哥德巴赫猜想》，该话剧同时也是“共和国的脊梁——科学大师名校宣传工程”的入选项目之一。主要以陈景润在厦门大学和中科院的生活为主要线索，紧紧围绕他与“哥德巴赫猜想”这一世界性数学难题的密切关系展开，讲述了他在人生每一阶段不断突破困境，刻苦钻研、永不放弃自己的数学梦想，最终在攻克哥德巴赫猜想的道路上取得历史性成果的故事。
参考资料
数学之美 |陈景润与哥德巴赫猜想.科普中国网.2023-03-22
为什么一加一等于二？.成都市人民政府.2023-03-20
《哥德巴赫猜想》在国家大剧院上演.人民网.2023-12-23