等比数列

等比数列，又名几何数列（英语：Geometric progression）是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G.P.表示。这个常数叫做等比数列的公比，常用字母表示，等比数列，。例如数列首项，公比，则第2、3项为6、18...则第n项为。

公元前3000年的古埃及时期，人类已经开始对等比数列进行研究。在名为《莱因德纸草书》的古埃及遗迹中发现了等比数列求和等内容的计算痕迹。公元前三世纪，古希腊数学家欧几里得（希腊语：Ευκλειδc）在其著作《几何原本》中对等比数列的性质进行研究，并总结出等比数列有限项的求和公式。另一位古希腊数学家阿基米德（希腊语：Ἀρχιμήδης）在研究拋物线弓形面积问题研究时，引出了等比数列。可以通过等比数列的定义计算等比数列的前n项和和前n项积以及等比中项；通过等比数列的公比还可以计算无穷级数的等比数列。

等比数列的研究已经有数千年的历史，而目前的应用十分广泛，在经济领域可以通过等比数列计算银行复利；在科技领域可以和网络技术相结合制作线性无线传感网络。

定义

一般地，如果一个数列的首项不为0，且从第 2 项起，每项与它前一项的比都等于同一个常数，那么称这个数列为等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。

由等比数列的定义，从第 2 项起每一项与它的前一项的比都等于公比，对于等比数列，用数学公式可以表示为：

以此类推，可得到等比数列的通项公式为：。

根据等比数列的通项公式可知，如果满足，其中，是非零常数，则数列是等比数列。

除通项公式外，等比数列任意两项和还存在以下关系： 。

简史

等比数列的研究可追溯到数千年以前。公元前3000年的古埃及时期，人类已经开始对等比数列进行研究。公元前3100年的埃及纳尔美王(Narmer)图。图左边有表示数字1的拐杖，而图右边的鹰象征着国王。这只鹰的一只爪子抓着人，另一只爪子踩在六瓣莲花上。一瓣莲花代表数字1000。也就是说，这幅图的含义是，国王(鹰)抓了6000名俘虏(六瓣莲花)。因为埃及的尼罗河定期泛滥，土地肥沃，而且不易遭到外敌入侵，人民生活安定，所以埃及的数字和文字文明较为发达。在名为《莱因德纸草书》的古埃及遗迹中甚至发现了我们现在所说的等比数列求和等内容的计算痕迹。

这本书用图片、文字和数字的形式记载了110个数学问题，其中就包括等比数列求和的问题。相关内容用现代语句翻译如下。“7座房子里各有7只猫。1只猫能抓7只老鼠，1只老鼠能吃7根麦穗，1根麦穗里有7颗谷粒。那么房子、猫、老鼠、麦穗和谷粒的总数有多少呢?"

古印度时期，记载了一个国际象棋与麦子的故事，其中涉及到以2为公比的等比数列的求和问题。一个国际象棋和麦子的故事：印度国王打算赏赐宰相发明了国际象棋，问他要什么赏赐宰相对国王说：“请您在这棋盘的第一方格内给我一粒小麦，在第二格内给我两粒小麦，第三格内给我四粒小麦，如此下去，每一格内的放的麦仁数都是前一格二倍，直至64格都放下应放的小麦粒数目，便是您给我的赏赐了。”国王哈哈大笑答应了宰相的请求。因为国际象棋一共有64个格子,第一个格子可以看作放粒麦子，所以最后一个格子就是粒麦子。等式两边同时乘以公比，这道题的公比是2，

公元前三世纪，古希腊数学家欧几里得（希腊语：Ευκλειδc）在其著作《几何原本》中对等比数列的性质进行研究，并总结出等比数列有限项的求和公式。另一位古希腊数学家阿基米德（希腊语：Ἀρχιμήδης）在研究拋物线弓形面积问题研究时，引出了这一等比数列：

十六世纪，法国数学家韦达（法语：François Viète）第一次给出了无穷项等比数列求和公式，该公式为。

性质

等比数列存在如下的性质：

1. 在有穷等比数列中，每隔取出一项，数列仍为等比数列。

3. 等比数列，首项，公比为，而各项的倒数构成的新数列可表示为

4. 是数列的前n项和，。

5. 等比数列的第项和前项和都是的指数函数，定义域为正整数集。

等比中项

如果在与中间插入一个数，使得成等比数列，也就是或，有，那么叫做与的等比中项。在等比数列中，从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是前一项与后一项的等比中项。

如果数列的任一连续三项满足， 则数列是等比数列。

数列分类

递增数列

如果等比数列的首项，公比，该数列是递增数列；

递减数列

如果，， 该数列是递减的。当时，情况与此相反。

常数列

其中，，当时，即数列的各项都相等，该数列称为常数列。

摆动数列

当公比时，数列总是摆动的。

计算

等比数列前n项和

设是等比数列，表示其前项和，即

由等比数列的通项公式可知：

，

等式两边同乘上，

，

两式相减可得，

当时，等比数列的前项和公式为

。

代入通项公式，则上式可改写为

。

当时，等比数列为常数数列，每一项都等于第一项，故其前项和公式为

。

综上，等比数列的其前项和为

。

上述方法也称为错位相减法，这种方法同样适用于等差数列与等比数列乘积的和。

等比数列前n项积

设是等比数列，给定首项，末项，

则；

又有代入

得

于是，得出等比数列前n项积公式。

给定首项，公比为，又知代入上述公式

得

最终得，得出等比数列前n项积公式。

例如，三个数为等比数列，和为38，积为1728，求这三个数。

先设三个数分别为，由题意知，由②得，所以。

把代入①，得.

解得，则所求三个数依次是8,12,18。

同理。当时，所求三个数依次是18，12，8。

等比中项的求法

在公比为的无穷等比数列中，每间隔项的项仍构称等比数列，其公比为 。

设是数列每隔项的项所组成的新数列, 且，即是数列的第项，则：

以此类推，

因此，。

等比数列的充要条件

当时，由三个值确定一个等比数列的充要条件是：存在自然数，使得以下等式成立。

证明过程如下：

令，

则有。

如果以为首项，为公比构建等比数列，则以上三个式子均成立。

假设另有一以为公比的等比数列满足

由可知，, 故

唯一。

等比数列的判定与证明方法

证明方法

定义法：；

等比中项法：。

判定方法

通项公式法：，

说明：；

前n项和法：，

说明：。

如判定某数列不是等比数列，只需判定有连续三项不成等比数列即可，就可以联系到赋值法，比如常常判断。

衍生概念

高阶等比数列

设数列不是等比数列:若它的一阶差数列是公比不为1的等比数列，则称它为一阶等比数列;若它的一阶差数列不是等比数列，而二阶差数列是公比不为1的等比数列，则称它为二阶等比数列一般地说，如果某一个数列它的(p-1)阶差数列不是等比数列，而p阶差数列是公比不为1的等比数列，则称这个数列为p阶等比数列(0阶差数列当作为原数列)。

设数列的p阶差数列是公比为的等比数列，则，而它的（p+1）阶差数列的通项为，由此可见，（p+1）阶差数列也是公比为q的等比数列，以此类推，得（p+2）、（p+3）…阶差数列也是等比数列，且公比等于q。

高阶等比求通项

求数列的通项:

先作各阶差数列:

一阶差数列由此可知，数列是一阶等比数列，数列的首项为6，公比为2，于是，

因为，所以，，

将以上各式两边分别相加，得，所以

因此，数列的通项公式为。

几何级数

定义

如果一列数，从第一项开始，以后一项都是它前一项乘上一个固定数r，即因为该数列毎相邻两项之比r保持不变，故称之为等比数列，r为公比。如果等比数列中各项依次相加，即我们便称其为等比级数（或几何级数）。

当等比数列公比的绝对值小于1，即，则称数列为无穷递缩等比数列。无穷递缩等比数列和为。无穷递缩等比数列必须首先是等比数列，所以，但从数列的和的角度看，只需要。

求和方式

设级数为

第一项用表示为，

前两项和为，

前三项和为…

前n项和为，可见为一数列。

根据数列的极限定义级数的“和”。设有无穷级数

，

它的前n项和是，

当时，如果有极限，即，

则称是收敛的，叫做级数的和，此时可写为

或。

当，如果没有极限，则称级数是发散的，由定义可知，如果收敛，必有和，即

这时，，把叫做级数的的余项。如果用作为的近似值，则产生的误差等于余项的绝对值。

例如，和均为几何级数。当趋于无穷大时，如果，该无穷级数的和是存在的，且为 。

证明过程如下：

首先求出前项和可知，由等比数列的前项和公式可知：

如果，几何级数存在和，定义为：

因此该几何级数的和为：

。

利用上述结论可以将循环小数化为分数。例如，

。

当时，对应的几何级数收敛。该级数对应的等比数列也称为无穷递缩等比数列。例如, 即为无穷递缩等比数列。

敛散性

当时，，因此，此时等比级数收敛。

当时，，因此，此时等比级数发散。

当时，，，此时等比级数发散。

当时，，所以不存在，等比级数发散。

应用

数学方面

化循环小数为分数，示例：

生活方面

复利

复利是和单利相对应的经济概念，单利计算不用把利息计入本金计算；而复利恰恰相反，它的利息要并入本金中重复计息。可以用等比数列计算。如：10000元钱，日利率万分之五，那么30天后，本息合计：10000*(1+0.05%)^30=10151.09，第一天结束，有利息是10000*0.05加上本金=10000（1+0.05）=A1。第一天结束本金A1第二天结束，利息是A1*0.05加上本金=A1(1+0.05)，那么第30天结束，利息A29*0.05加本金=A29*(1+0.05)。最终计算出复利是10000*(1+0.05)^30。

细胞分裂

一个细胞，

分裂一次形成两个细胞，

两个细胞各分裂一次形成四个细胞

WSNs

WSN(Wireless Sensor Networks，WSNs)通过在监控区域随机播撒大量传感器节点，然后按照自组织网络形式组成的应用于特定环境的网络。

LIENS方案的主要思路是在网络中不同的区域采用限制节点数量的方式，使传感器节点的数量从内到外按等比数列递增，同时在网络中随机部署一定数量的中继节点用于转发收集的数据。在采用的线性无线传感器网络模型中，假定需要通过Sink节点进行中继的子监测区域数量总共为n，传感器节点在相同的子监测区域中配置也是相同的，假定B为每个子监测区域中包含的传感器节点数量,其中，但是B只是表示子监测区域中普通传感器节点的数量，并不包含中继传感器节点的数量。普通传感器节点主要是用于监测待测信息并发送所采集的数据信息，同时也能接收其他传感器节点传送来的数据信息；而中继传感器节点只用于传输普通传感器节点所收集的数据信息，但其自身并不用于采集任何数据信息。令为第i个子监测区域中全部传感器节点单位时间的能耗，为传感器节点发送1比特数据所需的能耗，为节点接收1比特数据所需的能耗，网络中全部节点的初始能量都是,每个传感器节点每次发送的数据都是v比特。则在第n个子监测区域中，普通传感器节点单位发送数据所需能耗为，如。

参考资料

等比数列.术语在线.2023-09-25

等比数列前n项积.MATHalino.2023-09-27