拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理（英文：Lagrange 平均数 value theorem），是微分学中的微分中值定理之一，它叙述了这样一个事实：一个可微函数的曲线段，必有一点的切线斜率与端点相连的弦的斜率相等。
拉格朗日中值定理将函数与导数联系起来，是研究函数的重要工具。
历史起源
拉格朗日中值定理和罗尔中值定理、柯西中值定理的统称为微分中值定理，是微分学的核心定理，它将函数与导数联系起来，是研究函数的重要工具。微分中值定理完整地出现经历了一个过程。
人们对微分中值定理的认识可以追溯到古希腊时代。古希腊数学家在几何研究中已经发现: “过抛物线弓形的顶点的切线必平行于拋物线弓形的底”，这其实是拉格朗日中值定理的特殊情况，当时的数学家阿基米德 (Archimedes) 还利用这一结论求出了抛物线弓形的面积。
1635年，意大利数学家卡瓦列里(Cavalieri)在《不可分量几何学》中对拉格朗日中值定理从几何形式上进行了阐述：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦，被称为 “卡瓦列里定理”。
1637 年，法国数学家皮耶·德·费玛 (Fermat) 在《求最大值和最小值的方法》中给出了费马定理。
1691 年，法国数学家罗尔 (Rolle) 在《方程的解法》一文中, 给出多项式形式的罗尔中值定理。
1797 年，法国数学家约瑟夫·拉格朗日 (Lagrange) 在《复变函数》一书中，给出拉格朗日定理，并做出了初步证明。
1823年，法国数学家奥古斯丁-路易·柯西 (Cauchy)在《无穷小计算教程概论》中首次严格证明了拉格朗日中值定理；1829年，他在另一部著作《微分计算教程》 中将其推广为柯西中值定理，这也是最后一个微分中值定理。
基本概念
拉格朗日中值定理
如果函数f(x)满足下列条件:
(1) 在闭区间上连续；
(2) 在开区间内可导，
则在内至少存在一点，使得
b-a
该定理被称为约瑟夫·拉格朗日中值定理，上式也被称为拉格朗日中值公式，显然，该公式对于也成立。
关于拉格朗日中值定理，有几点注意事项：
有限增量公式
约瑟夫·拉格朗日中值公式也可以改写为：
。
设, 在以为端点的区间上，由拉格朗日中值公式，
有quad
记，则有
即
这个公式被称为有限增量公式，它精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在该区间内某点处的导数之间的关系。
证明
作辅助函数f(x)
容易验证在连续, 在可导, 且。
根据罗尔中值定理，在内至少存在一点，使。
而
于是 ，
也就是
证毕。
几何意义
如下图所示，函数f(x)满足在闭区间上连续，在开区间内可导，连接，则在中至少存在一点，曲线在点处的切线平行于弦 。由于曲线在点处切线的斜率为，弦的斜率为，因此有
这就是拉格朗日中值定理的几何意义，它表明：一个可微函数的曲线段，必有一点的切线平行于曲线端点的弦。
推论
推论 1
如果函数在区间上的偏导数恒为零，那么f(x)在区间上是一个常数。
证明如下：
在区间上任取两点，不妨设，则函数在区间上 满足拉格朗日中值定理的条件，
即
由于, 所以，因此有
由于是上任意两点, 故f(x)在上的函数值总是相等的，即在上是一个常数。
证毕。
推论 2
如果函数和在区间上的导函数处处相等，即，则和在上只相差一个常数，即存在一个常数，使得。
证明如下：
构造函数，则
由推论 1 知，即
证毕。
应用
拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位，常应用于某些恒等式、不等式的证明等问题中。
不等式的证明
证明: 当时，恒成立。
证明过程如下：
构造，
对求导可得
。
当时，在上满足拉格朗日中值定理条件，
即-0
整理可得：
由于，因此有
即
证毕。
恒等式的证明
证明：等式arccos恒成立。
证明过程如下：
构造-1，
对求导可得
sqrt，
由推论1可知，在内为常数，即。
又因为， 所以。
因为 在处右连续，在处左连续，
所以-1
即arccos。
证毕。
相关概念
罗尔中值定理
如果函数满足下列条件:
(1) 在闭区间上连续；
(2) 在开区间内可导；
(3) 在区间端点的函数值相等，即，
则在内至少存在一点，使得
罗尔中值定理的几何意义如右图所示，函数满足在闭区间上连续，在开区间内可导，区间的端点高度相同，连接，则在中至少存在一点，曲线在点处的切线平行于轴。
如果取消罗尔中值定理的第三个条件，就得到更一般的拉格朗日中值定理。或者说，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广。
柯西中值定理
如果函数及满足：
(1) 在闭区间上连续；
(2) 在开区间内可导；
(3) 在区间内任一点，都有，
则在内至少存在一点，使得
柯西中值定理具有如下几何意义：用参数方程表示的曲线上至少存在一点，使过该点的切线平行于过曲线两端点所在的直线。
柯西中值定理包含了拉格朗日中值定理和罗尔中值定理。在柯西中值定理中令， 可得到拉格朗日中值定理。或者说，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形。
积分中值定理
如果函数在在闭区间上连续，则存在使得
如图所示，积分中值定理表面：曲边梯形的面积和一个以为高的同底矩形的面积相等。
复数域中的拉格朗日中值定理
设复变函数在区域内解析，为内任意一点，那么对于点的某邻域subset，及任意点 ，存在满足一点，使得。
该定理可以看作拉格朗日中值定理在复数域中的推广。
复数域中的柯西中值定理
设复变函数在区域内解析，为内任意一点，是的圆形邻域， ，则存在满足的一点，使得。
参考资料
mean-value theorem.britannica.2023-05-19
拉格朗日中值定理.术语在线.2023-05-19