伯努利原理
伯努利原理（Bernoulli's principle）是流体力学中的一条基本原理。即在理想条件下，同一流管的任何一个截面处，单位体积流体的动能、势能和压力势能之和是一个常量 ，用方程表示为（为常量）。需要注意的是，由于伯努利方程是由机械能守恒推导出的，所以它仅适用于粘度可以忽略、不可被压缩的理想流体。同时，伯努利方程也可由牛顿第二定律推导得到。伯努利原理仅适用于等流。也可以应用于多种不同类型的流动，从而产生不同形式的伯努利方程。伯努利方程的简单形式对于不可压缩流（例如，大多数液体流和以低马赫数移动的气体）有效。
伯努利原理由瑞士流体物理学家丹尼尔·伯努利在1738年在著作《流体力学》中提出，其实质是理想流体的机械能守恒。莱昂哈德·欧拉 (Leonhard Euler) 在1752年推导出了伯努利方程的普遍形式。
伯努利原理在生活中有很多应用，如机翼升力、文丘里流量计、香蕉球、喷雾器等。
原理
可压缩流体方程
由欧拉方程推导普遍的伯努利方程，适用于理想流体（无粘滞性的流体）的欧拉方程为：
（1）
其中，为流体所受单位质量的保守体积力。对定常流动，则有：
，，
于是式（1）为
讨论同一条流线上各点的参量关系，用点积方程的两边得
化简为
（为常量）（2）
其中为单位质量的势函数。
可压缩流动的热力学方程
定义质量熵为单位质量的熵，理想流体绝热方程表示为，
根据热力学关系，其中为质量，定义为单位质量的焓。为温度。又因绝热，所以该式可简化为，因此欧拉方程可写为（3）
如果欧拉方程只考虑速度，则有
，则（3）式可写成
因只是坐标的函数，故，则有。
在重力场中，设重力方向作为z轴，z轴以上为正。那么和方向之间夹角的余弦等于导数，因此在上的投影为，因此有，则。
工程领域应用方程
如果是可压缩理想气体,并且流动过程中等熵，则由泊松（西莫恩·泊松）公式以及可得到。则，则可压缩理想气体在等熵定常流动过程中，沿流线的微分方程为，则。
不可压缩流体方程
当流体不可压缩，则为常数，式（2）变为，则
，适于理想流体（不存在摩擦阻力）。
推导
牛顿第二定律推导
首先忽略重力，并考虑直管中的收缩和膨胀，如文丘里效应所示。让x轴沿着管道的轴向下。设某流体，通过横截面积为的管道，流体长度为，体积为。密度为，则流体的质量为密度乘以体积，为。流速为
应用牛顿第二运动定律（力=质量×加速度），流体上的有效力为。如果压力沿管道长度减小，则为负值，沿x轴方向流动的力为正值。
，，
在定常流动时，速度场相对于时间是恒定的。因此
在密度不变的情况下，伯努利方程是
垂直流线方向的加速度定律
考虑沿流线运动的微小流体质点[3]，其质量以表示，代表宽度，流体质点运动以速度向量表示，流线坐标可表示为与某参考点的距离s=s(t)及流线局部曲率半径，沿着流线的坐标为s；垂直流线的坐标为 n。
在垂直流线的方向n上，由于存在向心加速度，故质点所受合力为：，其中为微小流体质点体积。而质点所受重力为：，其中
如图所示的质点中央压力为p ，垂直流线的两端平均压力分别为及，可用泰勒级数展开求压力差异。
为质点于垂直方向上所受净压
故
因为沿着垂直流线方向，可得到垂直流线方向之运动方程
此式意味着，垂直于流线的压力梯度及质点所受重力会改变流向，造成弯曲的流线。
若忽略重力的因素，即只考虑流体在水平面的流动，以龙卷风为例，
，会得到，这意味着，压力随着远离曲率中心的距离而增大（n的正向，指向弯曲流线的内部），由于为正值，因此为负值，在龙卷风之外的压力（典型的大气压力）远大于中心处（低气压，可能会产生部分真空），而这些压力差会被用于平衡曲率运动所需的向心力。
在s为定值的情况下，。沿n的方向积分可得
对于不可压缩流，可得
由推导方程所需的基本假设：稳定、无黏性及不可压缩流，可以得出跨过流线的运动方程为
沿着流线的运动方程为
在跨过流线的情形使用伯努力定律时，若流体位置发生旋转或弯曲，就会因跨过流线的运动方程中所含的导致计算结果须修正。
托里切利定律
当液体因受到地心吸力的作用而流出时，其速度等于，其中为重力加速度，ℎ为开口的中心和液体最高面的距离。这个速度刚好等于液体从离地ℎ的地方以自由落体的方式下落时着地前的速度（但实际上因为有空气阻力，所以实际情形一般不会以自由落体的方式下落）。
能量守恒定律推导
如图所示，在作定常流动的理想流体中取任一根流管，用截面S1和S2截出一段流体。在时间间隔内左端的S1从位置a1移动b1，右端的S2从位置a2移到b2，令，则和分别是在同一时间间隔内流入和流出的流体体积，对于不可压缩流体的定常流动，。因没有黏滞，即没有耗散，运用机械能守恒定律于这段流管内的流体。在b1到a2一段里虽然流体更换了，但由于流动是定常的，其运动状态未变，从而动能和势能都没有改变。故考查能量的变化时只需计算两端体元与之间的能量差。动能的变化量为
重力势能的变化量
计算外力对这段流管内流体所作的功。设左端的压强为p1，作用在S1上的力，外力作功为；右端压强为p2，作用在S2上的力，外力作功为，故。由机械能守恒得，或者
因1、2是同一流管内的任意两点，所以上式也可表达为沿同一流线
发现历史
1912年秋天，当时世界上最大的轮船之一、远洋货轮“奥林匹克号”正在大海上航行。突然，一艘比它小得多的铁甲巡洋舰“豪克号”从后面追了上来，在离“奥林匹克号”100m的地方几乎跟它平行疾驰。就在这时，意外发生了，“豪克号”突然扭转船头朝“奥林匹克号”冲了过来，尽管“豪克号”的舵手尽力挽救仍无济于事。“奥林匹克号”的船舷被“豪克号”撞了一个大洞。
在海事法庭审理这件奇案的时候，“奥林匹克号”的船长被判为有过失的一方，法院认为，这是因为船长没有发出任何避让“豪克号”的命令。船长虽然感到冤枉，但没有办法解释，只好蒙冤受屈。这件事情也引起了一些科学家的注意，他们认为这次事件一定事出有因。
早在1726年，丹尼尔·伯努利就已经注意到，如果水沿着一条宽窄不一的沟（或粗细不均的管子）向前流动，水在沟较窄的部分就流得快些，但水流对沟壁的压力比较小；反之，在较宽的部分水就流得较慢，对沟壁的压力则会比较大。这一发现，后来被人们称为伯努利原理。
这个原理虽然发现得较早，但一直不被人们重视。出现了“奥林匹克号”被撞事件后，一些科学家突然想到，用这一原理来解释这次事故是非常合情合理的。于是，自此以后伯努利原理才渐渐得到了重视。这是一条普遍性的原理，它不仅对于流动的水是适用的，而且对于流动的其他液体甚至气体也适用。
实验演示
漏斗与球
用饮料瓶的上半部分制成漏斗，乒乓球放入漏斗中，广口部分朝下。当对着瓶口吹气时，我们发现乒乓球并没有受重力作用落下，而是紧紧贴近瓶口的位置。这是因为吹气时产生的气流从乒乓球与瓶子的间隙中流过，速度越快，压强就会越小。而漏斗外部的气流速度较小，压强大于漏斗内部。
乒乓球炮弹
本实验用大功率电吹风作为风源，透明合成纸一张，乒乓球若干个。将透明塑料纸裹成直径为稍大于乒乓球直径的纸筒，将乒乓球放在一个盘子里，纸筒的下端靠近乒乓球，打开电吹风后，将电吹风沿着纸筒的上端吹气，乒乓球会像“炮弹”一样发射出来。因为当用吹风机吹纸筒上端的时候，上端空气流速加快，压强减小，下端压强不变，在纸筒上下端压强差的作用下，产生一股由下向上的气流，纸筒下端的乒乓球也就随着气流从纸筒上端发射出来。
气球风轮
将气球吹大并系好，用点胶将气球粘结成内一圈外一圈的一个圆形气球环。先用一只手扶着气球环，用鼓风机对着气球环的一端吹气，气球环会悬浮在空中并且旋转起来。因用吹风机在气球斜下方吹气时，气流吹向气球表面，气流会随着气球的表面流动，气球表面的流速会加快，压力会减小，而外围的空气流速就会比较慢，压力也就会比较大。而旋转气球附近空气流速快，压力小。形成了一个带动圆形气球环转动起来的力矩，于是气球环就可以在空中转起来。
应用
机翼升力
飞机之所以能在空中飞行靠的就是飞行中一对机翼产生的升力。而飞机机翼一般都是上表面弯曲，下表面平坦，在飞机飞行过程中，机翼将迎面的风切割成了上下两部分，在相同的时间里流过机翼上下表面空气流走过相同位移但经过不同的路程，也就造成了机翼上、下表面空气流速不同致使流过机翼下表面空气速度小于流过机翼上表面空气速度，机翼上下表面产生了向上的压力差，所以飞机可以克服重力起飞并飞行。
关于机翼升力，还存在另一种解释，即：空气流过机翼上表面的路程比下表面长，因此在上表面要移动得快一些，才能使同时从前缘出发的气团同时在后缘会合。于是，根据伯努利定理，上表面的压力必然比下表面低，这种解释是错误的。
文丘里流量计
文丘里流量计是测量流体压差的一种装置。它是一个先收缩而后逐渐扩大的管道。在收缩段的直管段截面1和截面2两处，测量静压差和两个截面的面积，并用伯努利方程即可计算出通过管道的流量。 需要注意的是，由于收缩段的能量损失要比扩张段小得多，所以不能用扩张段的压强来计算流量，以免增大误差。
香蕉球
踢“香蕉球”的时候，脚和罗尼·斯塔姆接触的区域不是球的正中心，而是稍稍偏向一侧，同时球员用脚背摩擦足球，使球在空气中前进的同时还不断地旋转。这时，一方面空气迎着球向后流动，另一方面，由于空气与球之间的摩擦，球周围的空气又会被带着一起旋转．这样，球一侧空气的流动速度加快，而另一侧空气的流动速度减慢。根据伯努利原理，由于足球两侧空气的流动速度不一样，它们对足球所产生的压强也不一样，于是，足球在空气压力的作用下，被迫向空气流速大的一侧转弯了。
喷雾器
喷雾器是利用流速大、压强小的原理制成的。 让空气从小孔迅速流出，小孔附近的压强小，容器里液面上的空气压强大，液体就沿小孔下边的细管升上来，从细管的上口流出后，液体受到空气流的冲击，被喷成雾状。
参考资料
Hydrodynamica.大英百科全书官网.2023-12-16
From Newton’s mechanics to Euler’s equations .sciencedirect.2023-12-25
Torricelli’s law.大英百科全书官网.2024-01-09
2个小实验了解伯努利原理.微信公众平台.2024-01-03
初中物理演示实验的深度学习一以“漏斗与球”为例.四川省图书馆数字馆藏门户.2024-01-03
伯努利原理教学中的趣味实验.超星期刊.2024-01-03
“伯努利升力原理”批判-力学与实践.澎湃新闻.2023-12-24