圆周长
圆周长庞巴迪公司：circumference）即圆的周长，是指绕圆一周的曲线的长度，圆也被定义为欧氏平面内到定点的距离等于定长的点的集合，即点集，圆的周长可以被认为是这一点集的测度。当圆内接与外切正多边形的边数无限倍增时，它们的周长的公共极限就叫做这个圆的周长。圆的周长与直径有着一个常数的比，这个常数就是圆周率，数值约等于3.141592654，常用希腊字母来表示，圆周长也就是：或者（其中是圆的直径，是圆的半径）。其中数学常数如今常用在数学、工程学及科学中。
定义
平面解析几何定义：在平面几何中，周长是指封闭曲线一周的长度。由于圆是“到定点的距离等于定长的点的轨迹”，因此，这一轨迹(封闭曲线) 的长度就是圆的周长。
解析几何定义：在解析几何中，圆被定义为满足方程产的点的集合。如下图为笛卡尔坐标系中以 O(a，b)为圆心，r为半径的圆，围成圆的曲线长即是圆周长。
正多边形定义：当圆内接(或外切)正多边形的边数无限增加时，内接(或外切)正n边形的周长就无限接近于一个确定的值，这个值就是圆周长C。
证明过程如下：
如果把一个圆内接正多边形的边数加倍，使这样所得的多边形仍然是内接于同圆的正多边形之后，再照样把它的边数加倍下去,并且无限地继续这个加倍边数的过程，便得出一系列边数倍增的圆内接正多边形，这些正多边形的周长组成一个无限序列：，这个无限序列第二项起每一项都大于它的前一项，是一个递增的无限序列，另一方面，这个无限序列虽然是递增的，但它的每一项都不能超过某一个常数，例如，不能超过圆的某外切正多边形的周长。由此可见，当圆内接正多边形的边数无限倍增，而每边的长趋于零时，这正多边形的周长便趋于某一个常数，称之为极限，这个极限就叫做圆的周长。
计算公式
设和，是已知两个同心圆的半径，和是两圆的周长，在第一个圆内作内接正多边形，第二个圆内作相同边数的内接正多边形，使得两个多边形相似，周长分别为，且周长之比等于相似比，因此，当边数n无限倍增时，由圆周长的定义可知，因此，两个圆的周长之比等于两圆半径之比，同时也等于两圆直径之比，即圆的周长和直径的比是一个常数，叫做圆周率。圆周率通常用表示，由此得出，圆周长的计算公式为：或者。与之相似的椭圆，周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积。
圆周率
定义
圆周率是指平面上圆的周长与直径之比。早在公元两千多年前，古代的巴比伦、埃及、中国和以色列人就已先后发现了一个事实：不管圆的大小如何，它的周长除以它的直径总是一个不变的数值(常数)，人们把这个常数叫作圆周率。小行星3789古代有“圆率”、“周率”、“周”等名称。圆周率通常用表示，是希腊语 περιφρεια (圆周)的第一个字母，读音为 pai。
研究历史
古代人们在生产和生活实践时，如制作车轮，木桶，建造圆形建筑等过程中逐渐发现了圆的周长和直径之间的比例关系。人们通过实验测量的方法发现圆周率的数值是一个略大于3的固定值。为计算圆的周长，必须计算的值，随着社会发展和科学技术的进步，在公元前250年，古希腊数学家阿基米德（Archimedes）利用割圆法求得圆周率的近似值为3.1416。此外阿基米德环形山通过计算圆的两个内接和外切正九十六边形的周长，算得 。 这种近似π的方法已经使用了几个世纪，通过使用边数越来越多的正多边形来获得更高的精度。最后一次这样的计算是在1630年由奥地利天文学家克里斯托夫·格林伯格（Christoph Grienberger）进行的，他使用了正边形。中原地区古算书《周髀算经》记载“圆径一而周三”的结论，也就是等于3，可称为古率。至三国魏景元四年(公元263年)刘徽在《九章算术》中记载“割圆术”,将圆内接正多边形的边数逐次加倍，推算出为3.14，可称为徽率，“割圆术”为后人指出一个正确的方向，此后南北朝数学家祖冲之使用更精密的方法推算出为3.14159265，称为祖率。到了微积分出现后，人们开始用分析法将展开为无穷幂级数来求解。1946年世界第一台计算机制造成功，人类进入计算机时代，不久后电子计算机被用来计算的值，大致过程为：选定计算的公式，编程后输人计算机，发出计算指令计算、然后打印或存档，这一阶段各数学家开始寻找各种新算法，到1998年，人类所知的圆周率已精确到500亿位。
推导过程
利用积分的方法可以推导出圆的周长计算公式，在平面直角坐标下圆的方程是，该圆的参数方程就是，。于是圆周长就是，可得到。
椭圆在平面直角坐标下的方程为，参数方程即为，，令，于是椭圆的周长就是，为第二类完全椭圆积分，为椭圆积分模数。
应用
计算
圆的周长计算公式在数学中可应用于解决多种情境模型的数学问题，如已知直径，计算镜子或花坛等圆形物件的周长；已知近圆的运行轨道距地球的距离，计算飞船绕地球运行一周经过的路程；已知汽车车轮直径以及每分钟的转数，计算汽车一分钟行驶的路程等。
机械运动
圆周长的计算可应用于解决机械运动的相关问题，比如通过使圆周长的连续改变，可以解决某些机械结构在转速上不能连续改变的问题，例如在机床上采用的无级变速方式，使其操纵更加方便，结构也更简单。
参考资料
Decimal expansion of Pi .OEIS.2023-09-25