最速曲线

最速曲线(英文：brachistochrone curve)是指不考虑摩擦的情况下，小球从一点自由滑落到下面另一点用时最短的轨道曲线。这一名称来自于数学家约翰·白努利，由希腊语中的“最短”(brochistos）和“时间”（chronos）两个词合成而来。

这一概念起源于1630年伽利略·伽利莱提出的一个物理问题即：一个质点在重力作用下，从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，沿着什么曲线滑下所需时间最短。1696年，经过牛顿，莱布尼兹，约翰·伯努利，雅各布·伯努利等数学家研究，得到的结论是最速曲线是一条摆线。

“最速曲线”问题的困难在于它和以往的极大极小值求法不同，要求出一个满足所给条件的未知函数(曲线)，而17世纪之前的物理及数学理论对此并未涉及。后来，大数学家莱昂哈德·欧拉开始关注这个问题，并从1726年起开始发表相关的论著，于1744年最先给了这类问题的普遍解法，最终创立了变分法这一新的数学分支。

研究简史

1630年。著名物理学家、数学家伽利略·伽利莱提出了一个问题：一个质点在重力作用下，从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，沿着什么曲线滑下所需时间最短？1638年，伽利略在著作《论两种新科学》中认为这条曲线是圆弧，后来我们知道这是错误的。

1696年6月，数学家约翰·白努利在《教师学报》上刊登了一个面向全欧洲学者的挑战问题：假设在地面上不同高度有A和B两个点，并且其中一个点不直接位于另一点的上方。连接这两点，可作出无限多种曲线，包括直线、圆的弧线到无数种其他曲线和波浪线（如下图1）。现在设想有一个球沿着一条曲线从A点滚向较低的B点。当然，球滚完全程所需要的时间取决于曲线的形状。约翰·伯努利向数学界提出的挑战是，找出一条曲线，使球沿这条曲线滚完全程所用的时间最短。

1697年3月，挑战期限截止。约翰·白努利一共收到了5份答案，其中包括他自己的答案和他的老师戈特弗里德·莱布尼茨的答案。他的哥哥雅各布·伯努利寄来了第三份答案，洛必达寄来了第四份答案。最后寄来的答案是艾萨克·牛顿的。随后，约翰·伯努利在杂志上公布了最速降线的答案——最速降线是一条摆线。

这次挑战中各人的解法不尽相同，雅可布的解法体现了变分的思想，且更一般化。后来，大数学家莱昂哈德·欧拉也开始研究这个问题，并从1726年起开始发表相关的论著，于1744年最先给了这类问题的普遍解法，最终创立了变分法这一新的数学分支。变分法应用广泛，从肥皂泡到相对论，在诸如力学、电学、空气动力学、最优化控制中都有应用。

参考资料

数学和物理太难？这些动图让你秒懂抽象概念.今日头条.2024-04-09