穷竭法

)+(1/n )^2·(1/n )(2-1/n

理论介绍

古希腊的安提芬(antiphon )最早表述了穷竭法，他在研究“化圆为方”问题时，提出了使用圆内接正多边形面积“穷竭”圆面积的思想。

后来，古希腊数学家欧多克斯(欧多克索斯 of Cnidus,)改进了安提芬的穷竭法。将其定义为：“在一个量中减去比其一半还大的量，不断重复这个过程，可以使剩下的量变得任意小”。

古希腊数学家阿基米德进一步完善了“穷竭法”，并将其广泛应用于求解曲面面积和旋转体体积。阿基米德最早使用穷竭法进行了积分运算，是微积分学的先驱。穷竭法被后人称为阿基米德原理。

例如，计算与x轴在之间围成的曲边三角形的面积，把底边分成n等分，分点分别是然后在每个分点处作底边的垂线，这样曲边三角形被分成了n个窄条，对每个窄条，近似用矩形条替代。每个矩形的底宽,高,把这些矩形条加起来，得到S的近似Sn:

对每个n,都可以算出相应的Sn的值，一方面，随着n的增大Sn的值，来越接近S.但另一方面，所得的Sn始终都是S的近似值，为了得到S的精确值，使n无限制的增大，从几何上看，面积Sn的那个多边形越来越贴近曲边三角形，即阿基米德所说的穷竭曲边三角形，从数值上看，Sn无限接近一个确定的数，这个数就是曲边三角形的面积S，这个数等于,当年，阿基米德就是通过这个方法求得结果.

用穷竭法计算曲边形的面积时，对不同的曲边形，采用不同的直边形去逼近。并且计算的过程中采用了特殊的技巧，因而不具有一般性，无法向一般的曲边形推广.

参考资料

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