多项式环
多项式环（英文：多项式 戒指）是环的重要类型之一。其定义为：设R是有单位元的交换环，x是R上的未定元（或变量），R上一切多项式的集合R[x]对多项式的加法和乘法构成一个环，称为环R上一元多项式环。
16世纪，意大利数学家吉罗拉莫·卡尔达诺（Cardano）和费拉里（Ferrari）求得了三次和四次方程的相应求解公式。到18世纪和19世纪，代数的主要内容是求解一元代数方程，其目标是用系数表示方程的根。随后，经由许多数学家对方程问题的研究工作，发展出了许多有关多项式的复杂理论。环论源于19世纪关于实数域的扩张与分类，以及戴德金（Dedekind）、哈密顿（Hamilton）等人对超复数系的建立和研究。后来，数学家们在环论的基础上研究多项式，定义了二元以及多元多项式环。19世纪末和20世纪初，多项式环的研究取得进展，戴维·希尔伯特、拉斯克尔和麦考莱证明，在多项式环中每一个理想都是准素理想的有限交，且具有唯一性，即每一个簇都是不可约簇的唯一有限交。
多项式环与整环、诺特环、高斯整环等的概念密切相关，唯一因式分解定理可以推广到这些环上。代数著名定理——费马大定理，数论中的中国剩余定理，在多项式环中也有相应的形式。近年来，不少学者对复杂特殊的多项式环——斜多项式环进行了研究。此外，多项式环在现实世界中应用广泛，如，在密码学中，基于整数多项式环可设计一种加密算法，提高解密效率。
定义
环
环是定义加法、乘法两个代数运算的非空集合，并且对于加法成一个尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Abel）群，的乘法满足结合律，以及乘法对加法的左、右分配律。
多项式环
一元多项式环
设是有单位元的交换环，是上的未定元（或称是变量），上一切多项式的集合记为，规定的加法是同次项的系数相加、乘法是分配相乘，即其中对多项式的加法和乘法构成一个环，称为环上一元多项式环。
多元多项式环
数域上的元多项式组成的集合记作连同所定义的加法与乘法构成一个环，它的零元素是零多项式，它有单位元素，即零次多项式。它是交换环，称为数域上的元多项式环。
简史
理论起源
多项式论起源于16世纪，意大利数学家吉罗拉莫·卡尔达诺（Cardano）和费拉里（Ferrari）求得了三次和四次方程的相应求解公式。随后，许多数学家参与到方程问题的研究中，如勒内·笛卡尔（Descartes）、约瑟夫·拉格朗日（Lagrange）和尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Abel）等人，发展出许多有关多项式的复杂理论。
环论源于19世纪关于实数域的扩张与分类，以及戴德金（Dedekind）、哈密顿（Hamilton）等人对超复数系的建立和研究。19世纪90年代，埃里·嘉当（Cartan）、弗罗贝尼乌斯（Frobenius）等独立证明了实数或复数域上有限维结合代数的基本结构定理。1907年韦德玻恩（Wedderburn）在《论超复数》一文中给出更先进的有限维代数的结构定理，成为环结构研究的模式。
后续发展
在环论发展过程中，较为重要的是代数数域和代数函数域中的整数环以及二元和多元多项式环。19世纪末和20世纪初，多项式环的研究取得进展，戴维·希尔伯特、拉斯克尔和麦考莱证明，在多项式环中每一个理想都是准素理想的有限交，且具有唯一性，即每一个簇都是不可约簇的唯一有限交。数学家艾米·诺特（Emmy Noether）在1921年发表的论文《环中的理想论》中推广多项式环的研究，并得到环中每一个理想都是准素理想的有限交且具有唯一性。她将唯一因子分解理论从多项式环、代数数域以及代数函数域的整环扩展并抽象，得出带有升链条件的抽象的交换环，称为诺特环。
相关概念
整环
如果环中有元素使得则称环中的元素为一个左零因子（右零因子），左零因子和右零因子都简称为零因子。如果环没有非平凡的零因子，则称为无零因子环，有单位元的无零因子的交换环称为整环。
高斯整环
形如一类特殊的复数，称为高斯整数，其全体记为。设,对复数加法和复数乘法构成环，称为高斯整数环。
理想
设是一个环,是的一个非空子集，如果对于减法封闭，即；并且具有“吸收性”，即，则称是的一个理想或双边理想。如果对减法封闭，并具有“左（或右）吸收性”，即(或)，则称是的一个左（或右）理想。
诺特环
定义：设是一个交换环，如果的每一条理想升链都有限，那么称满足理想升链条件，此时称是一个诺特环，主理想整环都是诺特环。
由诺特环的定义可知：设是一个交换环，则是诺特环当且仅当的每一个理想是有限生成的。
性质
同态
环上由一个元素生成的环总是多项式环的同态象。
设为环到环的一个同态而且其中是的单位元素，则对任一元素恒可唯一地扩充成上未定元的多项式环到的同态使得
加法和乘法运算的封闭性
环 有两个代数运算，一个叫做加法，记作另一个叫做乘法，记作，则数域上的一元多项式环的两个运算满足下列运算法则：
1.加法结合律，即
2.加法交换律，即
3.乘法结合律，即
4.乘法对于加法的左、右分配律，即
整除性
整除
整除理论可以由数域推广至多项式论中。设如果存在使得则称整除记作否则，称不能整除记作。
当整除时，称为的因式，称为的倍式。
带余除法
对于一元多项式环中任意两个多项式与其中一定有中的多项式存在，使成立，其中的次数小于或者并且这样的是唯一决定的。
相关定理
中国剩余定理
设是两两互质的正整数。
令则有同余方程组
，有唯一解
这里
多项式环上模的中国剩余定理结论：设为上的一个TOP项序，并且满足 ，即，是中子模的Grobner基，令为模的范式，则下面3个叙述等价：
(1)(表示空集）；
(2)
(3)
进一步，当时，
费马大定理
闭域上多项式环的费马大定理
该定理可以推广至欧氏环上的多项式环以及唯一分解环上的多项式环，结论仍然成立。
唯一因式分解定理
多项式环中每一个次数大于零的多项式都能唯一地分解成数域上有限多个不可约多项式的乘积。所谓唯一性是指，如果有两个分解式：
则一定有且适当排列因式的次序后有
下面结论说明，唯一分解定理可以从整环、高斯整环推广到多项式环上。
整环
定理：
1.如果整环的每个理想都是主理想，则整环叫做主理想整环。域上的一元多项式环是主理想整环。
2.设为一域，为上一元多项式环，为一个次数大于的多项式，则下列叙述等价：
(1)不可约，即不能分解为两个次数较低的多项式的乘积；
(2)理想为极大；
(3)为一域；
(4)为一整环；
(5)为素理想。
高斯整环
对于多元多项式环，定理仍然成立。
艾森斯坦判别法：设为一高斯整环的商域，为上一元多项式环。
设若有一个不可约元满足：
1.
2.
则在内不可约，即在内不能写成两个正次数多项式的积。
希尔伯特基定理
希尔伯特环形山基定理：如果是一个有单位元的诺特环，那么上的一元多项式环也是诺特环。该定理给出了诺特环与多项式环的关联。
推论：
1.设是一个有单位元素的诺特环，则上有限多个未定元的多项式环也是诺特环。
2.设为一个有单位元素的诺特环，为上有限生成的交换环且与有相同的单位元素，于是是一个诺特环，而且在上的全部代数关系在多项式环中是有限生成的。
相关推广
斜多项式环
定义
设环都是有单位元的结合环,是环的一个非零自同态。称一个映射是环上的一个导子，如果满足其中。令其中加法是一般多项式加法，乘法满足则按上述运算构成一个环，称为扩张。如果则称为斜多项式环。如果则称为导数多项式环。
举例
环定义：设是环的一个自同态，如果对任意的，由可以推出，称环为环。
由上述定义可得以下结论：
(1)如果环是一个环，则是诣零的；
(2)如果环是一个环，则环是环当且仅当是环；
(3)如果环是一个环且满足条件，则环是拟环当且仅当是拟环。
相关应用
计算机科学
随着集成电路的规模变得越来越大、功能越来越复杂，功能验证已经成为设计流程的主要瓶颈。基于模拟的传统验证方法不仅会花费大量的时间，还不能保证完全的验证覆盖率，已经无法满足集成电路设计的要求。基于有限环上多项式为基础模型，围绕算术密集型设计的等价性检验和定界模型检验，对于实现多项式运算的定点数据通路的逻辑门级与寄存器传输级之间的等价性检验，可有效地解决算术密集型电路的设计验证问题，提高验证效率。
密码学
公钥加密
由于传统公钥加密模式多数只能由单发送方将消息发送给单接收方的限制，在云计算和大数据背景下，一对一加密方式往往难以满足信息多方交互的需求。基于整数全同态加密方案，设计一种基于整数多项式环的一对一全同态加密算法。通过修改一对一全同态加密算法的密钥生成方式，扩展加密方个数，构造一种基于整数环的多对一全同态加密方案。在公私钥尺寸不扩张的情况下，该方案可增加加密方数量，提高解密效率，且连续性较好。
秘密共享
秘密共享作为密码学的一个原语，广泛应用在各种密码系统的构造。通常来说，门限秘密共享是用来保护秘密一种手段，通过将秘密分割成份子份额，其中任意的份组合在一起可以恢复出秘密，即使其中的个参与者不提供子份额。紧耦合秘密共享是指在门限秘密共享中，当参与者人数为时，个参与者作为一个整体，其中的每个人均参与到秘密恢复中，任意的个参与者无法获取秘密的任何信息。
但是，现有方案中，基于中国剩余定理的紧耦合秘密共享方案和基于约瑟夫·拉格朗日插值多项式的紧耦合秘密共享方案，均存在信息率不为导致效率低下的缺陷。通过基于有限域多项式环上的中国剩余定理来构造出理想型紧耦合的秘密共享方案，其信息率为可提升秘密恢复的效率。