外延公理
外延公理（axiom of extensionality），是指一个集合完全由它的成员确定；当且仅当它们拥有相同的元素时，两个集合相同。
1874-1897年，格奥尔格·康托尔（G.Cantor）发表了一系列论文，他以“朴素的”观点来看待集合的，但没有明确规定对于已知集合做哪些事情是合法的。随着对集合论的不断研究，外延公理的最初雏形在捷克数学家波尔查诺（Bolzano）的《几何理论》（Größenlehre）中被提出，1888年，数学家尤利乌斯·威廉·理查德·戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）在他的随笔中阐述了潜在的外延公理，1908年，受戴德金的影响，且随着人们陆续发现在素朴集合论中存在悖论，恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）提出了第一个公理化集合论系统，其中外延公理作为第一条公理被引进。后来弗兰克尔对策梅洛的公理系统作了改进，所得公理系统被称为策梅洛-弗兰克尔系统，简记为ZF系统。
外延公理定义了集合的相等性，它具有自反性、对称性和传递性的性质，ZF公理系统中的其他公理，如空集定理，可以通过外延公理进行证明。逻辑学中，外延性原则是与外延公理相关的准则，但是也存在很多违反该原则的例子，如主观概率判断。
定义
如果一个集合的所有元素也是的元素，反之亦然，则。简而言之，一个集合完全由它的成员确定；当且仅当它们拥有相同的元素时，两个集合相同，即。
简史
背景
1874-1897年，格奥尔格·康托尔（G.Cantor）发表了一系列论文，奠定了集合论的基础，从此集合论的概念和结果被广泛应用于数学的各个分支。在集合论创立的初期，康托尔是以所谓“朴素的”观点来看待集合的，没有明确规定对于已知集合做哪些事情是合法的。
提出
外延公理的最初雏形在捷克数学家波尔查诺（Bolzano）的《几何理论》（Größenlehre）中被提出，不过他的著作在他死后的1975年才被发表。1888年，数学家尤利乌斯·威廉·理查德·戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）在他的随笔中阐述了潜在的外延公理，他认为，当的元素是的元素，的元素是的元素时，系统与系统相同，用符号表示为。
1908年，受戴德金的影响，且随着人们陆续发现在朴素集合论中存在悖论，恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）提出了第一个公理化集合论系统，该系统建立在带等词的一阶谓词逻辑基础之上，包含"集合”和“属于”2个初始概念和外延公理等7条公理，其中外延公理作为第一条公理被引进。后来弗兰克尔对策梅洛的公理系统作了改进，所得公理系统被称为策梅洛-弗兰克尔系统，简记为ZF系统。
相关性质
外延公理可以判断两个以不同方式定义的集合的相等性，即它们有相同的元素。
自反性
自反性即，任何东西都和自己相等，这一性质称为同一律。
对称性
对称性即，就是说，如一对象等于另一对象，则另一对象也等于这一对象。
传递性
传递性即，就是说，如果两个对象和同一个对象相等，则这两个对象也相等。
其他公理
ZF系统(ZF syslem) 简称ZF，集合论的重要公理系统之一。它在1908年首先由恩斯特·策梅洛提出，后经斯科伦(Skolem，A.T.)、弗伦克尔(Fraenkel，A.A.)的改进与补充，是格奥尔格·康托尔集合论方法的形式化处理。ZF系统的原始概念是集合和属于关系。外延公理为该公理系统的第一条公理，它可以用于其他公理的证明。
空集公理
定理：存在一个唯一没有元素的集合。
证明：假定和都是没有元素的集合。那么，的每个元素都是的一个元素（因为没有元素，陈述“蕴涵”是一个前件为假的蕴涵式，因此自然为真）。类似地，的每个元素也是的一个元素（因为没有元素）。因此，根据外延公理，有。
配对公理
定理：对于任意的集合和，存在一个集合使得当且仅当或。形式化表示为：。
证明：由于并且，并且中没有其他元素。事实上，令是满足当且仅当或者的又一个集合，于是，当且仅当或者当且仅当，即：当且仅当，根据外延公理得。因此，集合唯一。证毕。外延公理不仅可以用来定义集合相等，也保证了集合的唯一性。
外延公理由和组成的无序对，这样的集合通常形式的记为：。
幂集公理
定理：对于任意的集合而言，存在一个集合，使得当且仅当。形式化表示为：。
证明：由外延公理可以证明集合也是唯一确定的。于是可推导出如下幂集的定义：
由的所有子集构成的集合被称为的幂集，记作，即：。
并集公理
，该式表明，给定任意的集合，都存在一个集合以的所有元素为元素。其中表示是集合的元素。
置换公理
，其含义是，对于任何函数，如果它的定义域是一个集合，那么它的值域也是一个集合。其中是的缩写，是的缩写。
无限集存在公理
，其中“”是缩写符号，。无限公理实际上是后继存在公理，是集合的后继集。
基础公理
，该式表明，二元关系在每一个非空集合上都是良基的。它要求任一非空集合有一个“”极小元，把以自己为元素的集合排除掉。此公理与正则公理等价。对于任何一个非空集合都存在它的一个元素，的任意元素都不属于。
子集公理
子集公理，即划分公理，指任给一集和一性质，则集合中一切满足性质的元素可以汇集起来构成一集，即为一集合。
推广
在集合论的发展中，用反基础公理替换基础公理来刻画循环的现象和问题成为必然。反基础公理最早是由福蒂（Forti）和霍塞尔（Honsell）在他们1983年的一篇论文中给出的。现在这条公理被奥采尔（Aczel）称作，并构建了非良基集合论公理系统。
在良基集合上，相等的概念是用恩斯特·策梅洛（Zermelo）的外延公理定义的。外延公理断言具有相同元素的集合是相等的。但是，既然承认基础公理的否定成立，那么也就承认了和以及和都是集合，但是，策梅洛（Zermelo）的外延公理无法回答它们是否相等的问题。因为根据外延公理得到的是一个重言式：当且仅当，即：外延公理在判断两个非良基合是否相等失效。
Boffa集合全域B及其外延性
事实上，在中，存在真类多个自反集。一般地，有如下命题：
命题：假设。每个可达点图都刻画了真类多个不同的集合。
证明：对任一序数，取图的个拷贝，这些拷贝可按下图构成一个外延的可达点图。由，存在一个单的装饰，从而诱导出图的不同装饰，每个装饰确定了一个集合，于是命题得证。
因为精确图同构于典范图，而每个集合的典范图是唯一的。这样根据命题可知如下的定义中的外延性公理：
定义：设，，分别为集合，的典范图，则。
非良基集合全域V~及其外延性
令，其中是上的正则互模拟，它是一个等价关系。设是系统关于等价关系的商系统。奥采尔证明了是一个完全系统，从而是公理系统的一个模型。这样，就可以用可达点图来给集合建立一个模型。并且，在的假设下，所有外延的图都是精确图，从而有一个单的装饰；另一方面，等价于是完全系统，每个外延的图都有唯一单装饰，从而对应着唯一集合。反过来，每个集合的典范图是精确图，从而也是外延的图。由于而商系统的每个等价类的代表元构成的域与它具有同样的性质，将这个商的每个等价类的代表元素构成的域记为，这样，可以把公理系统中的集合全域（记为）与的某个子类等同起来，记为：。这里的等号“”并不是真正意义上的相等，可以理解为同构的意思，因为给每个外延可达点图装饰，都能唯一对应中一个集合，反之，每个中集合的典范图都是一个外延可达点图。因此，可以如下定义中的外延性公理：
定义：设，，分别为集合，的典范图，则。
显然，当取为时，可得到阿克采尔公理系统集合全域，记为；当取为时，可得到斯考特公理系统集合全域，记为；当取为时，可以得到费思勒公理系统集合全域，记为。这几个非良基集合全域都是良基集合全域的扩张，而不是替换。更精确的说，有如下结论：
定理：。
证明：要证，要利用原始陈述，即，每个可达点图都有唯一装饰，其中包括良基图和非良基图。而根据集合的外延性可知不需要非外延的图。于是包含对所有外延可达点图进行装饰所得到的集合，而只包含对所有良基外延可达点图进行装饰所得到的集合。所以，。另一方面有。而任意外延的系统必然是外延的系统，所以。综上可得。
在公理系统的集合全域中，通常的外延公理用可达点图的语言可以这样来叙述：两个集合相等当且仅当它们的典范图同构。显然，，所以该定义是通常外延公理的推广。
其他解释
外延性原则
逻辑学中，与外延公理相关的准则是外延性原则。外延性原则有两个部分：
Ⅰ.任何命题函项的真值都唯一地依赖于自变量的真值；也就是说，假如和都是真的或者都是假的，那么在任何一个包含的句子中，当用代替时，视具体情况的不同，该句子依然是真的或假的。
Ⅱ.任何关于一个函项的函项的真值都唯一地依赖于该函项的外延；也就是说，假如只要是真的，就是真的，并且反过来也一样，那么在任何一个关于函项的句子中，当用来代替时，视具体情况的不同，该命题依然是真的或假的。
外延性原则可以用于表示逻辑关系，外延性原则是辨别一关系是否逻辑相等关系的标准，具体地说，要知道和这两者之间的关系是否有同一关系，可根据外延性原则，对凡是可以出现其中的真语句中都代之以（或相反，对出现的地方都换以），如果代换后的结果仍是真语句，则和是同一的。外延性原则表示了这样一个极其重要的原理：两个相等的东西可以互换，没有这两条原理，最简单的数学运算都不能进行。
但是，也有一些例子明显不符合外延性原则。人类在不确定条件下的概率判断不符合外延性原则，而是表现出描述的依赖性，即对同一外延事件的不同描述所做出的主观概率不同。人的主观概率判断具有非补偿性，增加一个假设的概率判断并没有降低对其他竞争性假设的概率，反而当支持假设的证据增加时，判断者对各个假设的概率判断和也会增加，出现了促进效应。
此外，违反外延性原则的例子并不局限于概率判断；在评价不确定性前景时，也可以观察到这些现象。例如，有学者发现，与覆盖所有住院类型的保险相比，那些（假设的）覆盖所有因疾病或事故住院的保险会让被试愿意支付更高的保费。明确提及疾病和事故增加了人们认为的住院治疗的可能性，因此也增加了保险的吸引力。
参考资料
策梅洛-弗兰克尔集合论.中国大百科全书.2024-02-04