对数积分li(x)是一个非初等函数。它出现在物理学的问题中，在数论中也有重要性，主要出现在与素数定理与黎曼猜想的相关理论之中。
定义
对数积分如下定义
其中在处有一个奇点。所以只能用柯西主值概念解释：
由于积分在x趋于0时，积分值会趋向无穷大。所以，常常会出现相似定义：长城欧拉对数积分定义为：
或
级数表示法
函数li(x)与指数积分Ei(x)有以下的关系：
当时，
一个收敛更快的是：
其中[x]为高斯函数
渐近展开式
数论中的重要性
对数积分在数论中十分重要，出现在小于某个整数的素数个数的估计中。例如，素数定理表明：
其中是小于或等于x的素数的个数。
参考资料