海伦公式
海伦公式（英文名：Heron's formula），是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。
这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（Archimades）得出的，而因为这个公式最早出现在古希腊的数学家海伦（Heron）的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式。中国南宋数学家秦九韶也曾提出类似的公式。海伦公式的标准表达式为：，其中分别为三角形的三条边长，为三角形半周长。
海伦公式可以用余弦定理、勾股定理等常见的定理来证明。将三角形推广至四边形，可得到类似的婆罗摩笈多公式，推广至四面体，可以得到欧拉公式，已知六条棱长可求四面体的体积。海伦公式的提出为三角形和多边形的面积计算提供了新的方法和思路，在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用海伦公式可以更快更简便地求出面积。
定义
表达式
如图，当已知三角形的三边为，它的面积为
其中，这个公式称为海伦公式。
海伦三角形
海伦三角形（Heron triangle），一种特殊三角形，指边长为连续的三个正整数，而且其面积也是正整数的三角形。这种三角形是海伦研究海伦公式时得到的一种特殊情况，它的一般解可用海伦公式求得。例如三条边长分别为连续三个正整数；；；等的三角形均为海伦三角形。
简史
海伦（Heron）是古希腊的数学家、工程师。海伦公式出现在他的《测地术》中，他先后在《经纬仪》和《量度》中给出证明。但是数学史学家认为，海伦公式最早是由阿基米德给出的，海伦只是给与重视并广泛地用于实践。海伦公式最早有两个证法，第一个证明是由勾股定理推出的；第二个证明则利用了内切圆性质与比例关系。
除了海伦公式以外，历史上先后得出的由三边求三角形的面积公式还有很多。比如，公元前二世纪希帕克（喜帕恰斯）曾指出：，其中R是三角形的外接圆半径，在海伦的《机械学》一书中还有，其中r是三角形内切圆半径。后来长城欧拉就是利用这个公式导出海伦公式的；1807年，马丢（Mafhien）又由导出了，其中分别是三角形三个外切圆的半径；公元10世纪，中亚地区著名数学家阿布尔·威发（Abdl-wefa）得出：，这是海伦用勾股定理导出海伦公式的一个中间结果，实际上它与海伦公式是等价的。
1247年，中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，“三斜”即三角形的三条边之长，它与海伦公式也是等价的。
相关公式
秦九韶著《数书九章》卷五中，有“三斜晶系求积题”为问沙田区一段，有三斜。小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步。欲知为田几何”。该题的“术曰”：“以少广求之。以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂，减上。余四约之，为实。一为从隅。开平方，得积。”如果用S表示三角形面积，以分别表示大斜、中斜、小斜，则上面的术文用今天的公式可表示为：
这就是秦九韶的著名的“三斜求积术”。
三斜晶系求积术化简可得海伦公式：
，由此可见，这两个公式是等价的。
相关定理
勾股定理
勾股定理，又名毕达哥拉斯定理，是一个基本的几何定理。勾股定理是指：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果用表示斜边，分别表示两条直角边，那么上面的关系可写成。勾股定理揭示了直角三角形三边之间的基本关系，只要确定直角三角形两边的长，就可以定量地确定直角三角形第三边的长，海伦公式也可以通过勾股定理推出。
余弦定理
欧几里得几何学中的余弦定理为下述论断；在任何三角形中，其任意一边长度的平方等于其它两边长度平方的和减去这两边的长度与这两边夹角值的余弦乘积的两倍。余弦定理表示为等式：，其中为三角形的边长，为边和之间的夹角值。余弦定理十分广泛地用于三角形、几何学的证明过程中，如它可以证明海伦公式。
推导证明
勾股定理证明
证明：如图1，在中，设三边分别为，，是边上的高。
因为,
所以,
由勾股定理得:
=
=
=
=
=
=
=
所以
所以==
内切圆证明
在中作内切圆，是中心，联结，，，，和，则有
把它们加起来，得
这里，，，
将延长至，使,则因为,和,于是有
因此，
但是，积是两个线段组成的，所以可以有
因而
引使与成直角，而与交于点，过点引与成直角，与交于点，联结，
因为，都是直角的，所以四点，，，共圆
于是有
但是，因为这是以为中心由，，组成的圆周角的一半，并且，而这四个角之和等于
因此
由以上的论证知道直角三角形和是相似的；据相似三角形对应边成比例的道理有
又与相似
于是
再由比例原理得
以乘上式第一、二两项，乘第三项，乘第四项有
后一等号的推出是因为是直角
由，有
但是前面已求得，故最后得
余弦定理证明
如图3，三边长分别为，则
（）
推广拓展
婆罗摩笈多公式
婆罗摩笈多(Brahmagupta)在公元7世纪初的一部论及天文的著作中，给出了用四边长表达圆内接四边形面积的婆罗摩多公式：
其中：
公式无论从形式上还是内容上都是海伦公式的延拓与推广，但它仅适用于圆内接四边形。
欧拉四面体公式
由“海伦公式”得到启发，欧拉推广到四面体，直接用四面体的6个棱长计算其体积：
公式意义
海伦公式的提出为三角形和多边形的面积计算提供了新的方法和思路，在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用海伦公式可以更快更简便地求出面积，比如说在测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。在勘测土地面积时，可以通过对不规则的平面添对角线，将平面分割成若干个三角形，再利用海伦公式，用已知三角形的三条边分别求出这些三角形的面积，然后相加得到整个平面面积。
参考资料
Heron's Formula.Wolfram MathWorld.2023-12-26