商空间

商空间是指在线性代数中，一个向量空间V被一个子空间N的商是将N“塌”为零得到的向量空间，所得的空间称为商空间，记作V/N（读作V模N）。

正文

在近世代数，群理论中有商群的概念，环理论中有商环的概念. 类似地，在线性空间理论中我们可以有商空间的概念. 在拓扑学及其相关数学领域，一个商空间（quotient space，也称为等化空间 identification space）直观上说是将一个给定空间的一些点等同或“黏合在一起”；由一个等价关系确定哪些点是等同的。这是从给定空间构造新空间的常见方法。

定义

假设 X 是一个拓扑空间，~ 是 X 上一个等价关系。在商集合 X/~ （这个集合有所有 ~ 的等价类组成）上定义一个拓扑如下：X/~ 中一个等价集合是开集当且仅当他们的并集在 X 中是开集。所得的拓扑称为在商集合 X/~ 上的商拓扑（quotient topology）。

等价地，商拓扑可以如下方式刻画：设 q : X → X/~ 是投影映射，将 X 的任何元素映为它的等价类。则 X/~ 上的商拓扑是使 q 连续的最细拓扑（finest topology）。

给定一个满射 f : X → Y 从一个拓扑空间 X 到一个集合 Y，我们可以在 Y 上定义商拓扑为使 f 连续的最细拓扑。这等价于说集合 V ⊆ Y 在 Y 中开当且仅当它的原像 f−1(V) 在 X 中开。映射 f 在 X 上诱导了一个等价关系，即 x1~x2 当且仅当 f(x1) = f(x2)。这个商空间 X/~ 同胚于 Y（带着它的商拓扑），同构映射为将 x 的等价类映为 f(x)。

一般地，一个满连续映射 f : X → Y 称为一个商映射（quotient map）如果 Y 具有由 f 确定的商拓扑。

拓扑

黏合：通常，拓扑学家讨论将一些点黏合在一起。如果 X 是一个拓扑空间，点“黏合”在一起，这意味着我们考虑由等价关系 a~b 当且仅当 a = b 或 a = x，b = y（或 a = y，b = x）得到的商空间。即这两个点被看作一个。考虑一个单位正方形 I2 = [0，1]×[0，1] 以及由所有边界点等价生成的等价关系 ~ ，从而所有边界点等同到一个等价类。则 I2/~ 同构于单位球面 S2。黏着空间（Adjunction space）：更一般地，假设 X 是一个空间，A 是 X 的一个子空间。我们可以将 A 中所有点等同到一个等价类其余 A 以外的点不变。所得的空间记作 X/A。

2 维球面同构于将单位圆盘的边界等同为一个点 D2/∂D2。

考虑集合 X = R'，取通常拓扑的实数集，记 x ~ y 当且仅当 x−y 是一个整数。则商空间 X/~ 同构于单位圆周 S1，同构映射为将 x 的等价类映为 exp(2πix)。

上一个例子的一类大量的推广如下：假设一个拓扑群 G 连续作用在空间 X 上。我们可以构造 X 上一个等价关系，如果两点等价当且仅当它们在同一个轨道中。这个关系下的商空间称为轨道空间，记作 X/G。上一个例子中 G = Z 通过平移作用在 R 上。轨道空间 R/Z 同构于 S1。

注：记号 R/Z 有歧义：如果 Z 理解成一个群作用在 R 上则商空间是圆周；如果 Z 看作 R 的一个子空间，则商空间是无穷的一束圆（bouquet of circles）在同一个点联接起来。

性质

商映射 q : X → Y 是由如下性质刻画的满射：如果 Z 是任何拓扑空间，f : Y → Z 是任何函数，则 f 连续当且仅

当 f O q 连续。

商空间 X/~ 与商映 q : X → X/~ 一起由如下泛性质刻画。如果 g : X → Z 是一个连续映射使得：对所有 a 与 b 属于 X， a~b 蕴含 g(a)=g(b) ，则存在惟一连续映射 f : X/~ → Z 使得 g = f O q。我们称 g “下降到商”。

因此定义在 X/~ 商的连续映射恰是由定义在 X 上与等价关系一致的连续映射（它们将同一个等价类中的元素映到相同的像）诱导的。在研究商空间时，时常使用这个判据。

给定一个连续满射 f : X → Y，关于 f 是否为商映射的判据是有用的。两个充分条件是 f 为开映射或闭映射。注意这两个条件只是充分条件而不是必要的。容易构造出不开或不闭的商映射例子。

相容性

与其它拓扑概念的相容性

分离

一般地，商空间关于分离公理的表现都很坏。X 的分离性质不必被 X/~ 继承，而 X/~ 可能具有 X 所没有的分离性质。

X/~ 是一个T1空间当且仅当 ~ 的任何等价类在 X 中闭。

如果商映射开则 X/~ 是一个豪斯多夫空间当且仅当 ~ 是乘积空间 X×X 的一个子集。

连通性

如果一个空间是连通的或道路连通，则所有的商空间也是。

一个单连通或可缩空间的商空间不必具有同样的性质。

紧性

如果一个空间紧，则所有商空间也是。

一个局部紧空间的商空间不必是局部紧的。

维数

一个商空间的拓扑维数可能比原空间大（显然也可能比较小），皮亚诺曲线（space-filling curve）提供了这样的例子。

应用

应用线性空间的第二同构定理，我们可得线性代数中的一个著名维数公式.

定理3.1 设W1，W2是有限维线性空间V的两个子空间，则 dim（W1＋W2）＝dimW1＋dimW2－dim（W1∩W2）.证明：由定理2.7，（W1＋W2）∕W2≌W1∕（W1∩W2），于是dim（（W1＋W2）∕ W2）＝dim（W1∕（W1∩W2））. 由命题1.3知dim（W1＋W2）－dim W2＝dimW1－dim（W1∩W2）.

应用线性空间的同态基本定理，我们可得线性代数中的另一个著名的维数公式.

定理3.2 设f是数域P上线性空间V到V’的同态映射，dimV＝n，则 dim ker f＋dim Im f ＝n .

证明：由推论2.6，Im f ≌V∕kerf，于是dim Im f＝dim（V∕ker f）.由命题1.3，可得

dim Im f ＝n－dim ker f.

注：定理3.1与3.2用传统的方法（参见一些高等代数、线性代数教材）来证明则比较繁杂，在这里我们看到，它们本质上是第一、二同构定理的直接推论.

定理3.2有两个有用的推论：

推论3.3 设V是数域P上有限维线性空间，σ、τ是V上的自同态（线性变换），则 dim Im（στ）＝dim Im（τ）－dim（Im（τ）∩ker（σ））.

证明：将σ限制在子空间Im（τ）上，知σ| Im（τ）是Im（τ）到V的一个同态映射，由定理3.2，

dim（ker（σ）∩Im（τ））＋dim Im（στ）＝dim Im（τ）.

推论3.4 设A, B是数域P上m×n, n×M矩阵，则 r（AB）＝ r（B）－dim（R（B）∩N（A）） ＝ r（A）－dim（R（AT）∩N（BT））这里R(B)＝{X | BY＝X，Y∈PS}，N(A)＝{X | AX＝0，X∈Pn}是Pn的子空间，r（A）为A的秩.

证明：将A限制在子空间R(B)上，则A可看成R(B)到R(A)的一个同态映射，其像为R(AB)，核为R(B)∩N(A)，于是由定理3.2，

dim（R（B）∩N（A））＋dim R（AB）＝dim R（B）.

由于dim R（AB）＝r（AB），dim R（B）＝r（B），故有：

r（AB）＝r（B）－dim（R（B）∩N（A））.……………………（*）

因为r（AB）＝r（（AB）T）＝r（BT AT），r（A）＝r（AT），将BT AT应用到（*）式，可得：

r（AB）＝r（A）－dim（R（AT）∩N（BT））.

利用推论3.3和3.4，可证明一些著名不等式.

例1  证明Sylvester不等式

r（A）＋r（B）－n≤r（AB）≤min{ r（A），r（B）}，

其中A为n列，B为n行.

证明：由推论3.4，有r（AB）＝r（B）－dim（R（B）∩N（A））. 因为n－r（A）＝dim N(A)≥dim（R（B）∩N（A））≥0，所以

r（AB）＝r（B）－dim（R（B）∩N（A））

≥r（B）－（n－r（A））

＝r（A）＋r（B）－n.

又由推论3.4，显然有r（AB）≤r（B），r（AB）≤r（A）.

例2  证明Frobenius不等式

r（ABC）≥r（AB）＋r（BC）－r（B）.

证明：由推论3.4，

r（ABC）＝r（BC）－dim（R（BC）∩N（A）），

r（AB）＝r（B）－dim（R（B）∩N（A）），

两式相减得：

r（ABC）＝r（AB）＋r（BC）－r（B）＋dim（R（B）∩N（A））－dim（R（BC）∩N（A））.因为R（BC）  R（B），所以dim（R（B）∩N（A））－dim（R（BC）∩N（A））≥0，因此

r（ABC）≥r（AB）＋r（BC）－r（B）.

例3  设σ，τ都是数域P上n维线性空间V上的线性变换，证明

dim ker（στ）≤dim ker（σ）＋dim ker（τ）.

证明：由定理3.2及推论3.3，

dim Im（στ）＝dim Im（τ）－dim（Im（τ）∩ker（σ）），

dim Im（στ）＋dim ker（στ）＝n，

dim Im（τ）＋dim ker（τ）＝n。

于是，有

dim ker（στ）＝dim ker（τ）＋dim（Im（τ）∩ker（σ））。

≤dim ker（τ）＋dim ker（σ）。

例4  设σ是数域P上n维线性空间V上的线性变换，证明

dim Im（σ2）＝dim Im（σ）当且仅当Im（σ）  ker（σ）＝V。

证明：由推论3.3，dim Im（σ2）＝dim Im（σ）－dim（Im（σ）∩ker（σ）），于是dim Im（σ2）＝dim Im（σ）当且仅当dim（Im（σ）∩ker（σ））＝0，当且仅当Im（σ）∩ker（σ）＝{0}。又由定理3.2，dim Im（σ）＋dim ker（σ）＝n，故可得dim Im（σ2）＝dim Im（σ）当且仅当Im（σ）  ker（σ）＝V。

参考资料

  教学网 http://gdjpkc.xmu.edu.cn/Document/Q2006120805530978471.doc

参考资料

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