多项式定理

二项式定理的展开式富有规律性、美观性，体现了数学的美学文化，而多项式定理为二项式定理的推广。用实际生活中的空盒放球来描述的话，则为：把 n 个有区别的小球放入到 k 个有区别的盒子中（盒内无序），使得第一个盒子里边装有 n1 个小球，第二个盒子里边装有 n 2个小球，…，第 t 个盒子里边装有 nt个小球，并且满足 n1+n2+...+nt=n，则可以很容易的利用多项式定理得到不同方法总的数目。

基本介绍

多项式定理是德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨首先发现的，他将此发现写信告诉了瑞士数学家约翰。贝努利，由贝努利完成了定理的证明。

预备知识

记号

为方便起见，定义如下记号：

其中是非负整数，满足

意义：将 n 个元素分为 t 组，使得第 i 组有个元素的方式数，重数分别为 的 t 各种元素的排列数。

Pascal公式

定理内容

设n是正整数，则对 t 个实数有

其中 。

定理证明

是 n 个因式的乘积，其展开式中共有项，我们可以按如下方法将这些项进行分类，设是展开式中任一项，如果在 中有个，个，...，个（其中有），则把 归于 类。显然，属于 类的项的个数等于由 个 ， 个 ，...， 个 作成的全排列数，为。因此，在 的展开式中（合并同类项之后），的系数为 ，至此该定理得证。

特殊情况

（1）若取，则有：

。

（2）多项式定理是对二项式定理的推广，在多项式定理中令就得到了二项式定理。

推论

推论1

设计设 n 为正整数，x 和 y 是任意实数，则有： 。

推论2

设 n 为正整数，x是任意实数，则有：。

推论3

设 n 为正整数，则有：

（1）（令推论2中 ，则可得）。

（2）（令推论2中 ，则可得）。

推论4

（令多项式定理中的，则可得到）。

参考资料

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