二项式定理
二项式定理（binomial theorem），又称牛顿二项式定理，其表达式是：
。该定理给出两个数之和的整数次幂展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。其可以用数学归纳法和组合法来证明。
二项式定理最初用于开高次方，在阿拉伯，10世纪时阿尔·卡拉吉（Al-Karaji) 已经知道二项式系数表的构造方法。11世纪中叶，贾宪在《释锁算书》中给出了“开方作法本源图”，即为直到六次幂的二项式系数表。13世纪，杨辉在《详解九章算法》中引用了此图。1654年，法国的帕斯卡（B.Pascal）最早建立了正整数次幂的二项式定理。英国的艾萨克·牛顿（I.Newton）在1665年将二项式定理推广到有理指数的情形。
二项式定理通常用于解决数学问题（整除性问题、共轭根式的乘方、数列极限问题、不等式证明、自然数幂求和的证明、组合恒等式的证明）、遗传学的统计问题、概率问题。
定义
组合数
组合数公式的定义为：从n个不同元素中任意去m（m≤n）个元素拼成一组，叫做从n个不同元素中取m个元素的一个组合，记作。其计算公式为
。
其中阶乘的计算为：。
二项式定理
人们将下面公式所表示的定理，称之为二项式定理。
=
其中叫做的二项展开式，它一共有项，其中各项的系数叫做二项式系数，式中叫做二项式展开式的通项，通常用表示，即通项为展开式的第项：
另外，在二项式定理中，如果设，，则得到：
注：二项式定理也可以写作。
展开式性质
的二项展开式具有如下的性质：
其中，含b的奇数次幂的系数为负，含b的偶数次幂的系数为正，其通项公式为：
（k=0，1，2，···，n）
简史
二项式定理最初用于开高次方。在中国，《九章算术》提出了世界上最早的多位正整数开平方、开立方的一般程序。11世纪中叶，贾宪在《释锁算书》中给出了“开方作法本源图”，满足了三次以上开方的需要。此图即为直到六次幂的二项式系数表。但是，贾宪并未给出二项式系数的一般公式，因而未能建立一般正整数次幂的二项式定理。13世纪，杨辉在《详解九章算法》中引用了“开方作法本源图”，并注明了此图出自贾宪的《释锁算书》。贾宪的著作已经失传，而杨辉的著作仍然流传了下来，所以此图为“贾宪三角”或“杨辉三角”。
其他国家，在阿拉伯，10世纪时阿尔·卡拉吉（Al-Karaji) 已经知道二项式系数表的构造方法： 每一列中的任一数等于上一列中同一行的数加上该数上面一数。11至12世纪期间，奥 马·海牙姆（Omar Khayyam）将印度人的开平方、开立方运算推广到任意高次，因而研究了高次二项展开式。12世纪，波斯人卡拉吉（Al-Karaji） 描述了二项式系数的三角形模式，并使用早期形式的数学归纳法提供了二项式定理和帕斯卡三角形的数学证明。
13世纪，纳绥尔丁（Nasir Eddin）在《算板与沙盘算法集成》中给出了高次开方的近似公式，并用到了二项式系数表。15世纪，阿尔·卡西（Al-Kashi）在《算术之钥》中介绍了任意高次开方法，并给出了直到九次幂的二项式系数表，还给出了二项式系数表的两种构造方法。 在欧洲，13世纪时德国的约丹努斯（N.de Jordanus）在一本未出版的算术书中给出了一张二项式系数表，其形状与贾宪三角一样。16世纪，许多数学家的书中都载有二项式系数表。1654年，法国的帕斯卡（B.Pascal）最早建立了正整数次幂的二项式定理，因此算术三角形在西方至今仍以他的名字命名。1665年，英国的艾萨克·牛顿（I.Newton）将二项式定理推广到有理指数的情形。18世纪，瑞士的欧拉和意大利的卡斯蒂隆（G.F.Castillon）分别采用待定系数法和“先异后同”的方法证明了实指数情形的二项式定理。
证明
数学归纳法
用数学归纳法证明n为任何正整数时以下等式成立。
证明：
（1）当时，左边，右边，所以左边=右边，等式成立。
（2）假设当时等式成立，即
那么，当时，上式两边都乘以，我们可以得到
所以，
即时等式也成立。
根据（1）和（2）可知，对于n为任意正整数时，都有：
组合法
二项式定理也可以写作，要证明此等式成立。
证明：考虑乘积，
它展开后一共包含个求和项，每一项都是n个因子的乘积，而且每一项都包含因子和，，例如：
这个求和项中，含有个和个的每一项对应了从n个元素，，···里取个元素构成一组的取法，因此，一共有个这样的项，这样，令，可以看出：
矩阵形式的二项式定理
矩阵
矩阵的定义：由个数排成m行n列的数表
称为m行n列的矩阵，简称矩阵。为表示它是一个整体，总是加一黑体字母表示它，记作
这个数称为矩阵的元素，简称为元，数位于矩阵的第行第列，简称矩阵的元，以数为元的矩阵可简记为或。矩阵也记作。
单位矩阵
单位矩阵是一个方阵，主对角线的每个元素（从左上角到右下角）都等于1，其他所有元素都等于0。例如，
这是一个3阶单位矩阵（即是3行和3列），在不同引用中，单位矩阵可称为，或。在矩阵乘法中，单位矩阵的作用类似于数字1，即如果是任意矩阵，是一个单位矩阵，那么。
可交换矩阵
对于某些特殊的矩阵可能有，此时称是可交换的，两个矩阵可交换的必要条件是它们为同阶方阵。
例如，设，求所有与A可交换的同阶矩阵B。
解：设，由，即
得
即有
故所有与可交换的矩阵为，其中为任意实数。
矩阵的二项式定理
该公式为矩阵的二项式定理。
因为矩阵和是可交换的（即），所以二项式定理成立。
推广
广义二项式定理
引理
设x为任意实数，则有：。
证明：设，。
仅须证明。
首先，，由此可得；且即得
I
于是。由此可推出，于是成立。
广义二项式定理
设x为任意实数，则恒有。
证明：由上面引理，令，则有
当指数为正数时，就是牛顿二项式定理：，。
当指数为负整数时，相应的就是负二项式定理：。
广义升序阶乘幂二项式定理
设为任意实数，为非负整数，则恒有
广义降序阶乘幂二项式定理
设为任意实数，为非负整数，则恒有：
相关概念
牛顿莱布尼茨公式
牛顿布莱尼茨公式
牛顿布莱尼茨公式定义为：设在区间上连续，且是它在该区间上的一个原函数，则有
高阶导数
函数的导数仍是的函数，若倒数还可以对求导数，则称的导数为的二阶导数。记作
这时，也称函数二阶可导，按导数的定义，函数的二阶导数应表示为
同样，函数的二阶导数的导数称为函数的三阶导数，记作
因此，阶导数的导数称为函数的阶导数，记作
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。
高阶导数莱布尼茨公式
高阶导数莱布尼茨公式为：，该公式在形式上非常类似于“二项式定理”。但是两个公式代表的数学意义截然不同：莱布尼茨公式是关于两个函数之积的n阶导数 ， 二项式定理是关于两个函数之和的n次幂。两公式的相似性如下：
首先定义两个简单的数学算符：指数升幂算符和导数升阶算符，两个算符的定义如下：
升幂算符作用于ambn的效果为a因子对应的幂指数加1。类似地，升阶算符作用于的效果为因子对应的求导阶数加1。这里定义的算符均满足交换律和分配律。
基于这两个算符，可以将二项式定理和莱布尼茨公式的形式统一为
和
由此可知，无论是n次二项式定理还是n阶莱布尼茨公式，均可视为将两个算符(指数升幂算符或导数升阶算符)之和连续左乘作用n 次的过程。
莱布尼茨公式的树图与二项式定理的树图非常相似，差别仅在于一个是求导数，另一个是求指数。两公式树图如下：
泰勒公式
泰勒定理：如果函数在含点的某一区间（a，b）内具有直至（n+1）阶倒数，则对（a，b）内任意一点，在与之间至少存在一点，使得：
此公式称为在点的n阶泰勒公式。
设为任意实数
=x＞-1，在0到x之间。
当
=
这就成了牛顿二项式定理。
应用
解决数学问题
解整除性问题
观察的展开式中的项前n项中都含有，唯最后一项不含，去掉最后一项后剩下的前项的和必是的倍数。（二项式系数必是正整数）。
例如：求证被整除（）。
证明：
=
=
上式项中的每一项都含有这个因子，所以被整除。
不等式证明问题
在二项式中，若a、b都是正数，则其展开式中的项都是正数，如果去掉若干项，则其和必小于，可用此方法可以巧解不等式证明中的一些问题。
例如：设、b为不等正数，，证不等式
证明：设，令，则，于是
上式括号中每一项都是正数，保留第一项，去掉后面的项的：
，即。
解共轭根式的乘方问题
共轭根式定义：如果一个不恒等于0的根式M与另一根式N的积MN是一个有理式，就称M为N的共轭根式。由此可知如果M是N的共轭根式，那么N也是M的共轭根式，即共轭根式不是唯一的。如果P是有理式，则PM也是N 的共轭根式。
观察两个二项式和的展开式，易见它们的奇数项相同，偶数项相反。因此它们的奇数项之和相同，偶数项之和为相反数。我们可以应用这个规律来解决共轭根式的一些乘方问题。
例如：设，已知，求证。
证明：比较和的展开式
可见它们的奇数项都为有理项，偶数项都为无理项，它们的有理项的和相同，无理项的和为相反数。又且，所以。
解数列极限的问题
数列极限的定义：设数列，如果存在常数a，对任意给定的，总存在正整数N，当时，恒成立，则称数列以为极限，记为或。
数列极限的存在性有一个夹逼准则，若 ，则，则，应用这个判别法求极限的关键在于建立不等式链，而建立不等式链有时是比较困难的，有时用构造二项式的方法来建立倒比较方便。
例如：设，求。
解：显然，当时，，
令，，，
∴
=
∴，
∴，即，又，
∴
证明自然幂求和定理
自然数幂求和定理为：
证明：根据二项式定理，得
=，
依次令a=n，n-1，···3，2，1，且将诸式两边分别相加，得
=
即
证明组合恒等式
二项式系数是证明和推导组合恒等式最有效的工具之一。
例如：求证：对任意正整数，有
证明：由得到
=
=
=
遗传学方面
在生物学方面，利用二项式定理展开式或通项公式，可以推测某些生物体自交、杂交产生后代群体中的基因型或表现型的分布情况。人类后代性别的分布情况，处于平衡状态群体中的各种基因或基因型的频率问题，生物体测交后代的各种表现型等等，都可以采用二项式定理展开式或通项公式来分析。
例如： 已知两对等位基因均为完全显性，基因型为AaBb的个体自交，说出后代F1中个体的基因结构。
解析：在完全显性的情况下，由遗传学分离定律可知，每一对杂合基因在形成配子时，显性基因A或B出现的概率为，隐性基因a或b出现的概率为。基因型为AaBb的个体自交后，产生的个体F1遗传上一代的基因有多种可能，但每个个体都只含有4个基因，4个基因组合时相当于独立的重复事件。所以该题所求概率是指“每个个体都含有4个基因”这一可独立重复试验发生的概率。取。
由二项式定理展开式可得：
=
=
=
通过上式可以看出，上一代的基因遗传给下一代以后，基因结合的概率和基因结构分别为：
4个显性基因和0个隐性基因结合在一起的概率=，指1个个体AABB。
3个显性基因和1个隐性基因结合在一起的概率=，指4个个体AABb、AaBB、AABb、AaBB。
2个显性基因和2个隐性基因结合在一起的概率=，指6个个体AaBb、AaBb、AaBb、AaBb、 AAbb、aaBB。
基因型为1个显性基因和3个隐性基因结合在一起的概率=，指4个个体 Aabb、Aabb、aaBb、aaBb。
0个显性基因和4个隐性基因结合在一起的概率=，指1个个体aabb。
概率论
概率论的定义为：随机事件A发生的可能性大小的度量（数值）叫做随机事件A发生的概率，记作P(A)。
概率加法法则：设将某一事件A表示为若干互斥方案（）。这时，事件A的概率等于事件A1，A2，···，As的概率之和为。
概率乘法法则：由若干简单独立事件重合所组成的一个复杂事件的概率，等于这些事件的概率的乘积。
在概率加法法则和乘法法则的基础上，可以推导出重复试验时，事件A发生一定次数的概率计算公式，这个公式称为二项分布法则。
设进行n次实验，其中每次实验时事件A的概率不变，并等于p，则这时事件A恰发生m次（0≤m≤n）的概率等于
此公式的右边就是牛顿二项式展开的一般项，其中，这就是事件A发生的概率。
二项分布也可以用来分析股票市场的实际问题。在分析股票时，某月内股票的回报如果为正，则称其为成功；为负或持平时就称其为失败。
例如：美国证券分析师对1957年至1977年美国AT\u0026T公司股票价格的研究表明，对每月都进行分析以确定成功出现的频率，发现56.7%的情况下，结果都是成功的。 将分析的数据按每3个月(季度) 一 组列出，研究人员发现实际成功的频率如下：
在 AT\u0026T的例子中，利用二项式表格之前需要了解的数据是：r=成功可能次数=0～3；n=试验次数=3（一季度内3个月）；p=成功概率=56.7%。
利用这些数据，从二项式表中得出的期望结果应是：成功期望频率分别为：0.082、10.318、20.416、30.184、1.000。研究表明，二项式的分布和AT\u0026T的实际情况相当接近。在已知假设的成功概率（p）后，每一季度内赚钱月份的情况就可以从二项式表中得到。因此，二项式分布对负责投资组合的基金管理者、公司负责销售的董事和研究人员分析项目概率确有实用价值。
参考资料
w3schools.blog.History Of Binomial Theorem.2023-11-12