一次函数
一次函数是形如（为常数，）的函数，其中x是自变量，y是因变量。它是一类初等函数，初等数学中也被称为线性函数。
函数(函数)这一名词，是德国的数学家戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）17世纪首先采用的。瑞士数学家雅各布·伯努利把函数定义为：一个变量的函数是指由这个变量和某些常量以任何一种方式组成的量。这是历史上第一个正式发表的明确的函数定义。莱昂哈德·欧拉在《微分学原理》的序言中进一步给出了函数的定义：当某变量以如下的方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前者也随之变化，则称前面的变量是后面变量的函数。函数的表示方法有解析式法、列表法、图像法。用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式。把一系列的值对应的函数值列表来表示的函数关系的方法叫做列表法。
用图像来表示函数关系的方法叫做图像法。一次函数的图像是一条直线，图像上可以看出一次函数的性质，当，随的增大而增大；当，随的增大而减小。一次函数解析式中，刻画了直线的倾斜程度，叫做斜率，为直线在轴上的截距，即直线与轴交点的纵坐标，当时，直线过坐标原点。根据一次函数解析式中和的取值情况可以判断平面上两条直线的位置关系，位置关系有三种：平行、相交、重合。求函数解析式的方法有定义型、待定系数法、两点型等。
一次函数在实际问题的解决中应用广泛，如容器泄水的流量是时间的一次函数，它也可以表示匀速直线运动路程和时间的关系。函数在当今社会应用广泛，在数学，计算机科学，金融，IT 等领域发挥着举足轻重的作用；在数学发展的历史上，函数这 一概念从提出到如今渗透到数学的各个层面，都在数学学科中有着不可撼动的地位。学好函数、了解函数的发展历史不 仅能提高我们对函数概念的认知度，还能有助于我们更好的 运用函数解决实际问题。
发展历史
函数(函数)这一名词，是德国的数学家戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）17世纪首先采用的。 在最初，莱布尼茨用函数一词表示变量的幂，即其后莱布尼茨还用函数一词表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等所有与曲线上的点有关的量。
1718年，瑞士数学家雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli），在关于等周问题的一篇论文中把函数定义为：一个变量的函数是指由这个变量和某些常量以任何一种方式组成的量。这是历史上第一个正式发表的明确的函数定义。瑞士数学家、物理学家莱昂哈德·欧拉（Euler）在1734年首次使用作为函数的符号，这种表述方法延续至今。1755年，欧拉在《微分学原理》的序言中进一步给出了函数的定义：当某变量以如下的方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前者也随之变化，则称前面的变量是后面变量的函数。现行初中数学教科书大多采用了这种定义。比较戈特弗里德·莱布尼茨最早的定义，欧拉的定义发生了本质的变化：在莱布尼茨那里，函数的定义借助几何图形，而现在函数的定义已经摆脱了具体的几何背景，涉及到函数本质，这个本质就是刻画两个变量之间的变化关系。正因为如此，人们通常称长城欧拉的定义为函数的“变量说”。1784年，莱昂哈德·欧拉在《无穷分析引论》一书中说：“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析表达式”。该书首次用函数概念作为中心和主线，把函数而不是曲线作为研究对象。同时，他明确指出“数学分析是关于函数的科学”，微积分被看成是建立在导数基础上的函数理论。19世纪的数学家开始对数学的各个分支进行形式化。德国数学家，被誉为“现代分析之父”的卡尔·魏尔施特拉斯倡议将微积分学建立在算术，而不是几何的基础上，这种主张比较趋向于莱昂哈德·欧拉的定义。法国数学家奥古斯丁-路易·柯西（Cauchy）在1823年所写的《微积分学摘要》中定义了函数：在某些变量间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变量之值，其他变量之值亦可随之确定时，则将最初的变量称之为自变量，其他各变量则称为函数。
1837年，德国数学家狄利克雷给出了如下的函数定义：如果对于每一个，有唯一有限的值与它对应，使得当从到连续变化时，也逐渐变化，那么就称为该区间上的一个连续函数。德国数学家伯恩哈德·黎曼引入了函数的新定义：“对于的每一个值，总有完全确定了的值与之对应，而不拘建立，之间的对应方法如何，均将称为的函数。”近代科学的先驱者李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数．”中国古代的人还用“天、 地、人、物”4个字来表示4个不同的未知数或变量，显然，函数在李善兰的这个定义中的含义就是“凡是公式中含有变量，则该式子叫做的函数”。从上面函数概念的演变中，可以知道，理解函数的定义必须抓住函数的本质属性，变量称为的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式。由此，就有了课本上的函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有惟一确定的值与其对应，那么就说是自变量，是的函数。
相关定义
函数
定义：在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说是自变量（independent variable），是的函数（函数）。如果当时，那么叫做当自变量的值为时的函数值。
一次函数
形如（为常数，）的函数称为一次函数，其中是自变量，是的函数。
正比例函数：形如（为常数，）的函数，叫做正比例函数（proportional function），其中叫做比例系数。
表示方法
解析式法
用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式(analytic expression)。一次函数的解析式为, 其中为斜率，为截距。例如，。
列表法
把一系列的值对应的函数值列表来表示的函数关系的方法叫做列表法。对于上面的例子，列表如下：
图像法
用图像来表示函数关系的方法叫做图像法。上面的例子可以做图像：
第一步：描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相对应的点。
第二步：连线：把这些对应的点连起来，得到的图像，它是一条直线。所以：一次函数的图像是过、两点的直线。
从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当由小变大时，随之增大。
图像和性质
平面直角坐标系
在数学中，可以用有序实数来确定平面上点的位置，因此，在平面上画两条原点重合，互相垂直且具有相同长度单位长度的数轴，这就建立了平面直角坐标系，通常把水平的数轴叫做轴或横轴，取向右为正方向，铅直的数轴叫做轴或纵轴，取向上为正方向，两条数轴的交点叫做坐标原点。
在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示，例如，图1中点，从点分别向轴和轴作垂线，垂足分别为点和点，这时点在轴上对应的数为，称为点的横坐标，点在轴上对应的数为，称为点的纵坐标，依次写出的横坐标和纵坐标，得到一对有序实数，称为点的坐标，这时点可记作。
在平面直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成了如图1所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，分别称为第一、二、三、四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限。
一次函数图像
把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出对应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图像（graph）。
正比例函数的图像则是过原点的一条直线，根据和的符号可确定直线经过的象限。
（1）正比例函数(为常数)的图像是一条经过原点的直线，当时，直线经过第一、第三象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；当时，直线经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着的增大反而减小。
（2）一次函数(为常数)可以由直线平移个单位长度得到（当时，向上平移，当时，向下平移）。通过观察一次函数的图像，可以发现规律：
当，随的增大而增大；
当，随的增大而减小。
一次函数图像性质如下表所示。
直线的位置关系
一次函数解析式中，刻画了直线的倾斜程度，叫做斜率，为直线在轴上的截距，即直线与轴交点的纵坐标，当时，直线过坐标原点。根据一次函数解析式中和的取值情况可以判断平面上两条直线的位置关系，平面上直线的位置关系有三种：平行、相交、重合。
设两条直线的表达式为,那么：
与相交；
且;
且与重合
相关概念
一元一次方程
两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线。在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，因此，这些直线的区别是它们的方向不同。知道这些直线相对于轴的倾斜程度不同，也就是他们与轴所成的角度不同，可以利用这样的角表示这些直线的方向。当直线与轴相交时，以轴为基准，轴正方向与直线向上的方向所成的角叫做直线的倾斜角。下图中的倾斜角为锐角，直线的倾斜角为钝角。当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为零度，因此，直线的倾斜角的取值范围为。
这样，在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等。因此，可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向。
综上可知，直线的倾斜角与直线上的两点的坐标有如下关系:
一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即
倾斜角是的直线没有斜率，倾斜角不是的直线都有斜率。
由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同，因此可以用斜率表示倾斜角不等于的直线相对于轴的倾斜程度，进而表示直线的方向。
如果直线经过两点，那么可得到如下斜率公式：
在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于轴的倾斜程度。
在一次函数解析式中，把直线和轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，这样，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，把方程叫做直线的斜截式方程，其中和都有明显的几何意义，是直线的斜率，是直线的截距。
与一次函数的区别与联系
一次函数 一元一次方程。它们具有相似的表达形式，且一次函数与轴交点的横坐标就是相应的一元一次方程的根。但是，一次函数表示的是之间的关系，它有无数对解；一元一次方程表示的是未知数的值，最多只有1个解。
求解析式
定义型
例题：已知是关于的一次函数，求这个函数的解析式。
解析:因且,故。这个函数的解析式为。
反思：解答本题的关键是把握一次函数的特征，即一次函数的自变量的系数，自变量的次数为1。只有同时满足这俩条件的函数才是一次函数。
待定系数法
例题：温度计是利用汞（或乙醇）热胀冷缩的原理制作的，温度计中的水银（或酒精）柱的高度（厘米）是温度（℃）的一次函数，某种型号的实验用水银温度计能测量℃至℃的温度，已知℃时水银柱高厘米，℃时水银柱高厘米，求这个函数的表达式。
分析：已知是的一次函数，它的表达式必有的形式，问题就归结为求和的值，两个已知条件实际上给出了和的两组对应值，当时，，当时，，分别将它们代入关系式，进而求得和的值。
解：设所求函数表达式是根据题意，得
解这个方程组，得
所以，所求函数表达式是
其中的取值范围是
这种先设待求函数表达式(其中含有待定系数)，再根据条件列出方程或方程组，求出待定系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。
两点型
例题：已知某个一次函数的图像与轴、轴的交点坐标分别是和，求这个一次函数的解析式。
解析：设一次函数的解析式为，依题意可得、，解得，故这个一次函数得解析式为。
性质型
某一次函数的图像过点，且函数的值随自变量的增大而减小，写出一个符合上述条件的函数的解析式。
解析：设所求一次函数解析式为根据一次函数的性质:时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小 。由题意可知应取小于0的数，如取。又因为一次函数的图像过点，把点的对应值代入得，解得，故所求函数的解析式为
点评：本题答案不唯一，属结论开放型题目，抓住题中的条件，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键 。
推广
线性映射
所谓映射，是指从一个集合到另一个集合的对应，对中任意元素,均有唯一的元素与之对应，记为。元素称为在下的像，称为元素的原像或逆像。
定义：设是数域上的向量空间到上线性空间的映射，如果适合下列条件：
（1）：
（2）：
则称是的线性映射。到自身的线性映射成为上的线性变换。若作为映射是单的，则称是单线性映射；若作为映射是满的，则称是满线性映射。若是双射，则称是线性同构。
线性空间
定义：设是一个数域，是一个集合，在上定义了一个加法“+”，即对中的任意两个元素，总存在中唯一的元素与之对应，记为。在数域与之间定义了一种运算，称为数乘，即对中任一数及中任意元，在中总有唯一的元素与之对应，记为。若上述加法和数乘满足下列运算规则：
（1）加法交换律：
（2）加法结合律：
（3）在中存在一个元素0，对于中任意向量都有；
（4）对于中每一个元素，存在元素，使得；
（5）;
（6）;
（7）;
（8）
其中是中任意一个元素，是中任意的数，则集合称为数域上的向量空间或者向量空间。V中的元素称为向量。
线性映射的运算性质
定义：设是数域上的线性空间，如果在上定义了一个乘法“”（通常可以省略），使对任意中元素及中元素，适合下列条件：
（1）乘法结合律：；
（2）存在中元，使对一切，均有：
（3）分配律：
（4）乘法与数乘的相容性：
则称是数域上的代数，元素称为的恒等元。
应用
中国古代漏刻
日常生活，人们常常用一次函数解决实际问题，时间的计量就是一个例子，普通钟表的指针转到的角度是所用的一次函数。在古代，许多民族与地区使用水钟来计时，其中容器泄水的流量也是时间的一次函数。
水钟在中国古代叫“漏刻”或“漏壶”。图4是一种原始的漏刻示意图：水从上面的贮水壶慢慢入下方的受水壶中，受水壶中的浮子上竖直放置一根标尺（称为“漏箭”）。假设漏水量是均匀的，受水壶中的浮子就会均匀升高，也就是说浮子升高的高度与所经历的时间成正比：
(为比例常数)
利用这一关系，在漏箭上标上适当的刻度，就可以用来计时了（中国古代天文学家通常将一昼夜分为100刻）。
当然，古代注意到随着贮水壶中水的减少，漏水速度变慢，因此就出现了设置多个贮水壶（所谓补偿壶）的多级型漏壶，使水逐级下漏，以保证最后漏入受水壶的水流的均匀性（图5为唐朝制造的一种四级漏刻）。另外，水流速度还受四季温度变化等诸多因素的影响，因此古人设计漏刻时常常会根据实际情况采取相应措施来保证最后漏入受水壶的水流均匀性和计时的准确性。
匀速直线运动路程和时间的关系
机械运动中最简单的运动形式是匀速直线运动。总是沿着直线且快慢不变的运动，叫做匀速直线运动。
匀速直线运动的图像和图像，用图像可以表示物体的运动规律，匀速直线运动的速度不随时间的变化而变化，而匀速直线运动中路程与时间成正比关系，则它们的图像都应是直线。
例：如图所示的四幅图像， 是表示物体运动的路程或速度与时间关系的图像， 其中能表示物体做匀速直线运动的是
分析与解:匀速直线运动的速度不随时间的变化而变化，则速度与时间的关系图像就是①图；而匀速直线运动中路程与时间成正比关系，所以其图像是③；而②图表示物体处于相对静止状态， ④图表示物体做加速运动。