一元一次方程
一元一次方程是指只含有一个次数为1的未知数，并且含未知数项的系数不是零的整式方程。常用ax+b＝0或ax＝b（a≠0）来表示。例如a＝1，b＝2，则方程为x+2＝0。
一元一次方程的历史可以追溯到3000多年前古埃及的莱茵德纸草书，草书中古埃及大祭司用假设法来解此类问题。后代数学家例如花拉子米（Al - Khwarizmi）、婆什迦罗（Bhaskara）、斐波那契（Fibonacci）、程大位等等均用假设法来解方程。直到韦达将符号代数系统化，一元一次方程的解法摆脱了语言描述。1859年，李善兰将此类代数问题命名为一元一次方程。一元一次方程属于线性代数中的一次方程，形式有多种，例如字母方程、分式方程等等。其解法一般可以归类为3种，一般方法、公式法和图像法。
一元一次方程可以解决绝大多数的工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、积分表问题、电话计费问题、数字问题。也可以解决化学物理中的公式计算，例如压强公式、焦耳公式等等。
定义
基本条件
条件一：它是一个等式；
条件二：等式中只含有一个未知数；
条件三：等式中未知数的最高次数为1；
条件四：等式中未知数的一次项系数不能为0。
相关概念
线性函数
在初级代数与解析几何中，线性函数是只拥有一个变量的一阶多项式函数，又或者是常数函数。在直角坐标系中，线性函数的图象呈直线，例如。当一次函数的值为0时，其对应的的坐标即为一元一次方程的解。
线性方程
线性方程也称一次方程式。指未知数都是一次的方程。其一般的形式是。线性方程的本质是等式两边乘以任何相同的非零数，方程的本质都不受影响。一元一次方程就是以一般一元一次方程。
求解历史
3000多年前的古埃及的珍贵文献莱因德纸草书，相传它是阿梅斯抄写，其中有一个用象形文字书写的方程题目:经埃森洛克破译，题意为:“有一堆，其三分之二，其一半，其七分之一及其全部，共为三十七.求一堆之数”。用现代的写法可以表示为：。公元1世纪左右，中国《九章算术》提出负数和移项的概念，使方程实现了化简变形。9世纪时，阿拉伯数学家花拉子米在《对消与还原》中给出了解方程的简单可行的基本方法，即“还原”和“对消”。12世纪，印度数学家婆什迦罗在《丽拉沃蒂》一书中用假设法（设未知数）来解决一类一元一次方程。由于所假设的数可以是任意正数，婆什迦罗称上述方法为“任意数算法”。13世纪，中国的盈不足术传入欧洲，意大利数学家斐波那契在《计算之书》中利用单假设和双假设法来解一元一次方程。16世纪时，韦达创立符号代数之后，提出了方程的移项与同除命题，也创立了这一概念，被尊称为“现代毕达哥拉斯”。但是韦达没有接受负数。18世纪时，数学家莱昂哈德·欧拉在《代数基础》中讨论了各类一元一次方程的解法。1859年，中国数学兼翻译家李善兰在《代数学》中将此类线性方程翻译为“一元一次方程”。
方程的性质
基本性质
图像性质
关于x的一元一次方程ax+b＝0（a≠0）可以通过一次函数f（x)＝ax+b来表示。一元一次方程ax+b＝0（a≠0）的根就是它所对应的一次函数f（x)＝ax+b函数值为0时，自变量x的值。即一次函数图象与x轴交点的横坐标。例如当a＝3，b＝3，则f（x）的图像为下图
线性函数的性质
1.在y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中，当x增大m时，函数值y则增大km，反之，当x减少m时，函数值y则减少 km。
2.当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0，b)。
3.当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。
在两个一次函数表达式中：
当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；
当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；
当两个一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像相交；
当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）；
当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。
求根方法
运算法则
1.方程的各项可以在改变符号以后，由方程的一边移向另一边。
2.方程的边有相同的项时，可以相消。
3.方程的两边如有公约数，可以约去。
4.方程可以去掉分母内不含有未知数的各分数的分母。
一般方法
一般解方程顺序
例如，取何值。
解：由题可知
（去分母）
（移项）
（并项）
（除于29系数化为1）
公式法
推导过程
（方程两边除于未知数的系数a）
（移项）
（整理）
举例：
（移项）
（方程两边除于未知数的系数3）
（整理）
图像法
关于x的一元一次方程ax+b＝0（a≠0）可以通过做出一次函数f（x)＝ax+b来解决。一元一次方程ax+b＝0（a≠0）的根就是它所对应的一次函数f（x)＝ax+b函数值为0时，自变量x的值。即一次函数图象与x轴交点的横坐标。
举例：3x+3＝0，求x的值
设f（x)＝3x+3 必经过（0，3），（-1，0）两点。则f（x）图表为
如图得知当f（x）＝0时，x＝-1
所以3x+3＝0 的解为x＝-1
衍生概念
字母方程
方程中的已知数用字母表示叫做字母方程
例如：y+y/a＝b
ay+y＝ab
（a+1）y＝ab
y＝（a+1）/ab
分式方程
含有分式，并且分式的分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。解分式方程，应得先将方程化成整式方程。用含有未知数的代数式去乘方程的两边，得出的解应带入原方程检验，防止增根。（乘值等于0为增根现象，需舍掉）
例如：6/（x+2）-（x+2）/（x-2）+x²/（x²-4）＝0
去分式（用x²-4即（x+2）（x-2）乘方程的两边），
6（x-2）-（x+2）²+x²＝0，
去括号，6x-12-x²-4x-4+x²＝0，
2x＝16，
x＝8。
经检验当x＝8时，x²-4＝64-4＝60≠0 。
∴x＝8 为方程的根。
应用
在物理学中有很多的公式也是可以直接或者间接看作一元一次方程，例如密度公式 ρ ＝ ｍ/ Ｖ，比热容的定义公式 ｃ ＝ Ｑ/ｍΔｔ等等。而在真正的物理问题中，一个变量随着一个变量变化的例子有很多。例如匀速直线运动的 ｓ ＝ ｖ·ｔ，路程随着时间的变化而做均匀变化；一定弹性限度内的弹簧，弹簧长度随着拉力的增大而不断增加。如已知里程为100km，速度为50km/h，求到达目的地所需的时间。可设时间为t，t＝s/v＝100/50＝2h，即可得知所需时间为2h。
如在生产生活中，通过已知一定的液体密度和压强，通过公式代入解方程，进而计算液体深度的问题。计算大气压强约等于多高的水柱产生的压强，已知大气压约为100000帕斯卡，水的密度约等于1000千克每立方米，g约等于10米每二次方秒（10牛每千克），则可设水柱高度为h米，列方程得1000*10h=100000，解得h=10，即可得知大气压强约等于10米的水柱所产生的压强。
问题示例
《鸡兔同笼》
大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何。”
该问题可用一元一次方程解决，解法如下：
解法：设鸡有x只，兔有35-x只。
由题意得：
解得：x=23。
兔的数量 35-x=12。
答：鸡有23只，兔有12只。
丢番图问题
希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：丢番图长眠于此，他的目标多么令人惊讶，它忠实地记录了他生命的轨迹；上帝给予的垂时光占六分之一，又过了十二分之一，须渐渐长出，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。五年之后弄璋之喜，儿子诞生。可怜迟来的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥补，又过了四年，他也走完了人生的旅途。终于告别数学，离开了人世。
根据以上信息，算出：（1）丢番图的寿命；（2）丢番图开始当爸爸时的年龄；（3）儿子死时丢番图的年龄。
解法：设丢番图的寿命x岁；
则
解的
丢番图开始当爸爸时的年龄：
儿子死时丢番图的年龄：84-4＝80
盈不足的问题
《九章算术》中所有的一元问题都是通过算术方法求解的，其中最重要的方法就是“盈不足术” 。在盈不足章中有题为“今有共货物，人出八，盈三。人出七，不足四。问：人货各几何”假设有x人，货物为8x-3。则8x-3＝7x+4。解得x＝7 货物为53。