函数奇偶性
函数奇偶性（奇函数/偶函数，英文：Even function / Odd function）是描述函数图像对称性的一种基本性质。对于一个定义域关于原点对称的函数而言，如果恒成立，则称为偶函数，如果恒成立，则为奇函数。
1727 年，瑞士数学家欧拉 (L. Euler) 在研究幂函数的性质时首次提出函数奇偶性的概念，“奇函数”“偶函数”的命名也是根据指数为偶数的幂函数为偶函数，而指数为奇数的幂函数为奇函数而得来的。
基本概念
定义
设函数的定义域关于原点对称，若对任意，恒有
，
则称函数为偶函数。
例如，二次函数，余弦函数等都属于偶函数。
若对任意，恒有
，
则称函数为奇函数。
例如，整理函数，正弦函数等都属于奇函数。
如果一个函数是奇函数或偶函数，那么就说这个函数具有奇偶性，不具有奇偶性的函数叫做非奇非偶函数。
例如，一次函数，反余弦函数等均为非奇非偶函数。
几何意义
偶函数的图形关于轴对称，奇函数的图形关于坐标原点对称，如下图所示。
判别
判别方法
在关于原点对称的定义域上，通过计算或，则是奇（偶）函数。
（1）奇函数之间相加减仍为奇函数，偶函数之间相加减仍为偶函数；
（2）奇函数乘偶函数为奇函数，偶函数乘偶函数为偶函数，奇函数乘奇函数为偶函数。
如果给出了函数图像，还可以通过观察图像是否关于轴或者坐标原点对称来判断是否为奇（偶）函数。
判别步骤
(1) 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
(2) 确定与的关系；
(3) 作出相应结论：
若，则是偶函数；
若，则是奇函数。
相关结论
(1) 两个奇 (偶) 函数的和仍为奇( 偶) 函数。
(2) 两个偶函数之积仍为偶函数。
(3) 两个奇函数之积成为偶函数。
(4) 奇函数与偶函数之积是奇函数。
5. 定义在上的函数为奇 (偶) 函数的充要条件是对任何，如下条件之一成立：
(1) ，其中。
(2) 或。
6.假设函数的傅里叶变换为，即：
1) 当是实函数时，通常为复函数，并且其实部为偶函数，虚部为奇函数。
2) 当是实偶函数时，为实偶函数。
3) 当是实奇函数时，为虚奇函数。
也就是说，傅里叶变换不改变原函数的奇偶性，该性质称为傅里叶变换的奇偶虚实对称性。
式中，
上述形式也称为函数的麦克劳林级数，它是函数在处的泰勒展开形式。
如果为偶函数，则其麦克劳林展开式中只含有的偶次幕的项，也就是：
如果为奇函数，则其麦克劳林展开式中只含有的奇次幕的项，也就是：
推广
广义奇函数
设函数的定义域为，如存在点，使得对任何，都有且，则称为广义奇函数。
可以看到，广义奇函数的图像关于是中心对称的。从本定义出发，三次函数，反比例函数均为广义奇函数。
广义偶函数
设函数定义域为，如果存在直线，使得对任何，都有，且
，则称为广义偶函数。
由定义可知，广义偶函数的图像关于某一直线对称。从本定义出发，二次函数为广义偶函数。此外，当时，方程变为，此时上述定义与偶函数定义等价。
参考资料
奇函数.术语在线.2023-06-03
偶函数.术语在线.2023-06-03