同伦
同伦（英语：Homotopic）是代数拓扑的一个基本概念，描述了两个拓扑空间之间的“连续变化”。如果两个拓扑空间可以通过一系列连续的形变从一个变到另一个，那么这两个空间同伦。同伦的概念不仅适用于空间，还适用于映射：如果两个定义在拓扑空间之间的连续函数可以通过连续形变互相转换，则这两个函数称为同伦的。同伦的一个重要应用是在定义同伦群和上同伦群，它们是代数拓扑中的重要不变量。
定义
设X和Y都是拓扑空间，f和g是X到Y的连续映射。如果存在连续映射H：X×I→Y，使得对任何x∈X，H(x,0)=f(x)，H(x,1)=g(x)，则称f与g同伦，并称H是连接f和g的一个同伦。这里I=[0,1]。如果我们将H的第二个参数视作时间，这样H描述了一个从f到g的连续形变过程：在时间0时刻我们得到函数f，在时间1时刻我们得到函数g。
如果存在连续映射f：X→Y和g：Y→X，使得g·f与恒同映射idx：X→X同伦，f·g与恒同映射idy：Y→Y同伦，则称X与Y同伦等价。称f和g是同伦等价映射，g是f的一个同伦逆。
描述
在同伦变换下保持不变的性质，就称为同伦不变量。比如亏格（洞眼的个数），欧拉示性数等等。但是维数就不是同伦不变量。同伦是关于映射的等价关系，同伦等价才是关于空间的等价关系。同伦关系满足函数的复合：如果一级方程式锦标赛与g1同伦，f2与g2同伦，则它们的复合f2∘f1与g2∘g1也同伦。
同伦概念的产生
同伦和伦移的定义由brouwer于1911年给出，虽然它的直观的观念形变（deformation）早在lagrange时代的变分学中已经出现并被使用，或许还可以追溯到更早。
性质
同伦是X到Y上所有的连续函数之间的一种等价关系。在特定的空间中应用同伦时，代数拓扑学家一般使用紧生成空间、CW复形或谱等技术手段来解决技术上的困难。
例子
例一：考虑实数线上的两个函数f(x)=1和g(x)=-1，它们通过函数H(x,t)=1-2t在实数线上同伦。例二：在单位区间[0,1]上定义的函数f(x)=e^(2iπx)和g(x)=0，通过函数H(x,t)=(1-t)e^(2iπx)同伦，其中f描绘一个单位圆，而g停在原点。
相对同伦
为定义高阶基本群，必须考虑相对于一个子空间的同伦概念。这是指能在不变动该子空间的状况下连续变化。设f,g:X→Y是连续函数，固定子空间K⊂X；若存在前述同伦映射H:X×[0,1]→Y，满足对所有k∈K，H(k,t)=f(k)=g(k)，则称f,g相对于K同伦。
空间同伦等价
给定两个拓扑空间E与F，它们被称为同伦等价，当且仅当存在两个连续映射f:E→F和g:F→E，使得g∘f同伦于E的恒等映射idE，f∘g同伦于F的恒等映射idF。同胚蕴含同伦等价，但同伦等价不一定意味着同胚。例如，一个平面上的圆或椭圆同伦等价于去掉一点的平面，线段[a,b]、闭圆盘及闭球间两两同伦等价，它们皆同伦等价于一个点。同伦等价是拓扑空间之间的等价关系，许多代数拓扑学里的性质均在同伦等价下不变，包括单连通、同调群及上同调群等。
同痕
同痕（Isotopy）是同伦的加细版，要求所论的函数f:X→Y和g:X→Y是嵌入，并要求两者间可用一族嵌入映射相连。同痕的概念在纽结理论中格外重要：若两个结同痕，则我们视之相等，可以在不使结扯断或相交的条件下彼此连续地变形。