覆叠空间

覆叠空间(covering space)亦称覆盖空间，同伦论中一个重要概念。覆盖空间在同伦理论，谐波分析，黎曼几何和差分拓扑中起着重要作用。例如，在黎曼几何中，分支是覆盖地图概念的概括。覆盖空间也与同伦群体研究，特别是基础群体的研究深深交织在一起。一个重要的应用来自结果，如果X是一个“足够好”的拓扑空间，则X的连接覆盖的所有同构类的集合与X的基本组的子群的共轭类之间存在着双重的差异。

同伦论

同伦论是拓扑学的重要概念。

直观地说，从拓扑空间X到拓扑空间y的连续映射是同伦的，是指在y中可将f 连续形变成 g，设都是连续映射，，若存在连续映射：，使得对所有，

则称f和g是同伦的映射，记为：，称H 为从f到g的一个同伦或伦移，这时的，若对所有t，同伦f1都是X到Y的同胚，则称f合痕于g。应该指出，映射的同伦关系是从拓扑空间X到Y的所有连续映射所成集合上的一个 等价关系，它将这些映射分成一些等价类，称每个等价类为一个同伦类。研究映射的同伦分类问题是同伦论的基本内容之一。

详细概念

覆叠空间亦称覆盖空间。同伦论中一个重要概念。设是道路连通空间，X是连通且局部道路连通空间，是连续满映射，若对于X中每一点x都有一个道路连通开邻域U，使得对于的每个连通分支V，p在V上的限制是同胚，则称为X的覆叠空间，称p为覆叠映射，称X为底空间，这样的邻域U称为x的可允许的邻域。例如，指数映射，把映为，则是的覆叠空间。若对于，取：

则：

为同胚。

覆叠空间理论包括映射提升定理，覆叠空间的分类定理，以及万有覆叠空间的存在性等内容。例如道路提升定理：设是X的覆叠空间，为覆叠映射，若v为X的以a为起点的道路，则内有惟一的以b点为起点的道路，满足，称为道路v的提升。类似地，有闭路同伦提升定理：设是X的覆叠空间，若为连续映射，满足条件：

则存在惟一的连续映射：满足条件：

称为F的提升。根据上述提升定理可知：覆叠映射p的诱导同态：是单同态。

道路连通空间

道路连通空间一类拓扑空间。若对于拓扑空间X中的任意两点都存在以这两点分别为始点与终点的道路，则称X为道路连通空间。若拓扑空间的子集作为子空间是道路连通的，则称它为道路连通子集。道路连通空间一定是连通空间，但是，其逆不成立。例如，X为与的并集且赋予通常拓扑，则X是连通空间但不是道路连通空间。

映射提升定理

关于覆叠空间的一条定理。设是X的覆叠空间，对于连续映射，若存在连续映射，满足条件，则称为f的提升。映射提升定理：若Y是连通且局部道路连通空间，，是X的覆叠空间，则连续映射存在提升的充分必要条件为，并且当提升存在时它是惟一的。这里f和p分别为连续映射f和覆叠映射p对应的基本群之间的诱导同态。

参考资料

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