布朗运动
布朗运动（Brownian Motion/wiener process）是指悬浮在液体或气体中的微粒所做的永不停息的无规则运动。1827年，英国植物学家罗伯特·布朗（Robert Brown）通过显微镜观察浸入水中的植物的花粉时，发现花粉微粒会呈现不规则状的运动，因而称它布朗运动。布朗运动的强度与温度、微粒浓度有关，温度越高，微粒布朗运动越剧烈。可以通过利用光学显微镜和图像采集装置观测聚苯乙烯小球或进行密立根油滴实验来观测布朗运动。
布朗运动具有轨道性质、高斯性、鞅性质、马尔可夫性等性质，也存在多种变化形式，如等价变化、布朗桥、反布朗运动和几何布朗运动等，对布朗运动的研究影响着各个科学领域，如物理、化学、电子工程、金融、数学等。
布朗运动现已应用至光学中的分子散射和激光理论，电学中的噪音计算、金融学中的股票价格推算、财务发生额规律推算及测温等领域。
定义
布朗运动是指悬浮在液体中的微粒永不停息地做无规则运动的现象，布朗运动的强度与温度、微粒浓度有关，温度越高，微粒布朗运动越剧烈。可以通过利用光学显微镜和图像采集装置观测PS塑料小球或进行密立根油滴实验来观测布朗运动。
原理
产生原因
布朗运动产生的原因有两方面：一是溶胶粒子的热运动，二是分散剂分子对胶粒的不均匀的撞击。
爱因斯坦理论
1905年爱因斯坦（Albert Einstein）用概率的概念和分子运动论的观点，创立了布朗运动理论，得出爱因斯坦-布朗运动平均位移公式：
=
式中，为在时间t内粒子沿x轴方向的平均位移；r为粒子半径；η为介质黏度；NA为阿莫迪欧·阿伏伽德罗常数。
爱因斯坦认为粒子位置在一维空间（x）中的时间增量作为具有某种概率密度函数（）的随机变量。假设粒子数量守恒，在泰勒级数中扩展了时间密度t+，得：
其中第一项积分等于1，第二项和奇特偶数项应为空间对称消失，得以下关系：
则质量扩散系数D
则布朗粒子在t处点x处的密度ρ满足扩散方程：
假设 N个粒子在初始时间t=0时从原点开始，扩散方程具有以下解：
阿尔伯特·爱因斯坦理论的第二部分将扩散常数与物理上可测量的量联系起来，物质通过布朗运动从高浓度区向低浓度区运动，称为扩散，这种现象可以通过费克扩散第一定律来表示，爱因斯坦推导了粒子在t时间内的平均位移与扩散系数D之间的关系式，即=。代入费克扩散第一定律方程式得：
D=
Smoluchowski模型
斯莫卢霍夫斯基（Smoluchowski）与阿尔伯特·爱因斯坦几乎在同时期推导出概率分布ρ（x，t）， 布朗粒子在时间t中沿x的位移。 得到了相同的均方位移，当他将其与质量m的粒子联系起来时，该粒子以斯托克斯定律支配的摩擦力的结果的速度运动，他发现：
其中μ是粘度系数，a是颗粒半径。
1906年，斯莫卢霍夫斯基发表了一个一维模型来描述经历布朗运动的粒子。该模型假设与M≫m发生碰撞，其中M是测试粒子的质量 ，m是单个粒子之一的质量组成 流体。 假设粒子碰撞被限制在一个维度上，并且测试粒子从左侧被击中的可能性与右边相同。 还假设每次碰撞总是赋予相同大小的ΔV。 如果N R是来自右侧的碰撞次数，N L是来自左侧的碰撞次数，则在N次碰撞之后 ， 粒子的速度将改变ΔV（2 N R −N）。 然后，多重性由下式简单地给出：
可能状态的总数由 2N 给出。 因此， 粒子被正确的NR次击中的概率为：
斯莫卢霍夫斯基的一维模型只能定性地描述布朗运动。 对于在流体中经历布朗运动的真实粒子，许多假设并不适用。
研究历史
1827年，英国植物学家罗伯特·布朗（Robert Brown）在探讨花粉在植物受精卵过程中的功能时发现，由花粉分裂出来的圆筒形微粒全都在做定向、无规则的振动。之后他又在其他植物中也观察到了这一现象。
1828年，布朗在《植物花粉的显微观察》一书中记述了他的发现，并提出了布朗运动的概念，为分子的存在提供了强有力的佐证。
1905年，阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）对布朗运动做了定量研究，指出布朗动动是由于微粒分子之间的碰撞引起的分子相对两面的压力差所致。
1908年，保罗·朗之万（Paul Langevin）写出描述单个布朗粒子运动的方程，其中包含有随机力项，是一个随机微分方程。从郎之万方程出发对粒子运动轨迹的平均得到的结果，同样与爱因斯坦的结果吻合。随后欧尔斯坦（Ornstein），乌仑贝克（Uhlenbeck）和王明贞等人总结发展了布朗运动理论，所撰写的论文成为布朗运动理论经典文献。
1908年，让·佩兰（Jean Baptiste Perrrin）开始研究通过实验的方法证实布朗运动理论，他的实验分为两种。一种是实验测定溶液中悬浮粒子浓度随高度的分布规律，从中可以测定阿伏伽德罗常数。另一种实验是直接用显微镜观察测量粒子的布朗运动，得到其位移数据，然后进行统计平均，与理论对照求得NA。各种实验方法和实验条件下测量得到的NA 都与现代公认的数值6.022×1023 十分接近。
1912年，诺伯特·维纳（Wiener）在他的博士论文中给出了布朗运动的数学模型，即维纳过程
数学模型
1912年维纳在他的博士论文中才给出了布朗运动的数学模型。设W（t）表示布朗运动某质点（即花粉）在[0,t]时间段产生的位移。由于质点的运动受周围介质场的作用（即受液体分子的“碰撞”，每秒达102次）。每次“碰撞”质点都会产生微小的位移。[0,t]时间段内质点的位移W（t）是经过“无数次”微小位移的总和。由中心极限定理知，W（t）服从正态分布。不仅如此，由于质点的运动，在不重叠的时间段内，碰撞的次数，位移的大小和移动的方向可以认为是相互独立的，且质点在某时间段内的位移的大小和移动的统计规律（即分布）与起始时刻无关，只与时段长度有关，综上所述，若随机过程W=｛W(t)，tT≜[0，+）｝满足以下条件：
（1）W(0)=0；
（2）是平稳独立增量过程；
（3）对0≤s\u003ct，W(t)-W(s)~N(0，2(t-s))；
则称W是参数为2的维纳过程。
布朗运动是一种最重要最基本的随机过程，是一个具有连续状态空间和连续时间参数的随机过程，它是随机过程的基石，是现代概率论的重要组成部分，用于描述布朗运动随机过程的定义是维纳给出的，维纳过程是布朗运动的数学模型。维纳过程定义随机过程{X（t），t≥0}如果满足：
（1）{X（t),t≥0}具有平稳独立增量；
（2）对每个t\u003e0，X（t）服从正态分布N（0，σ2t）；
（3）X（t）关于t是连续函数，则称{X（t),t≥0}为布朗运动，也称为维纳过程。常记为{B（t），t≥0}或{W（t），t≥0}。
注：如果σ=1，称为标准布朗运动。如果σ≠1，通过{，t≥0}转化成标准布朗运动。
性质和特点
轨道性质
布朗运动可以看做对称随机移动的极限情况，因此，它的轨道是连续的，然而，由于布朗运动的不规则性，布朗运动的轨道是很不光滑的。事实上，其轨道几乎处处不可导。
高斯性
布朗运动的高斯性质，是指所有有限维分布都是多元正态分布的随机过程。布朗运动是均值函数为0、协方差函数为min（t，s）的高斯过程。布朗运动是均值函数为0，协方差函数为min（t，s）的高斯过程。
特点
（1）分散在介质中的粒子各自独立地作不规则运动，并不断地改变方向。
（2）液体介质的粘度、粒子半径和温度等对布朗运动都有影响。粒子越小，温度越高振幅就越大，运动就越激烈。在一定温度时，大小相同的粒子，运动活泼程度是相同的，与物质种类无关。
（3）液态介质分子的热运动永不停息。
变化形式
等价变化
设{B（t）；t≥0}是标准布朗运动，则下列随机过程也是标准布朗运动：
（1）{X（t），t≥0}，其中X（t）=cB（t/c2），c\u003e0；
（2）{Y（t），t≥0}，其中Y（t）=B（t+h）-B(h)，h\u003e0；
（3）{Z（t)，t≥0}，其中Z（t）={tB（1/t），t\u003e0}或者{0，t＜0}
布朗桥
设{B（t)，t≥0}是布朗运动，令B（t）=B(t)-tB(1)，0≤t≤1
则称随机过程{B（t），0≤t≤1}为布朗桥（Brownbridge）
反布朗运动
如果随机过程{X（t），t≥0}满足X（t）=|B（t）|，就称之为反射布朗运动（在t轴反射出来）它的均值和方差函数分别为：
m（t)=E[x（t)]=xdx=σ，t≥0
Var[X（t）]=E[X2（t）]-{E[x（t)]}2=σ2t-σ2=（1-）σ2t
几何布朗运动
由X（t）=eB（t），t≥0，定义的过程{X（t）,t≥0}称为几何布朗运动，由于布朗运动的矩母函数为E[exB（t)]=etx2/2，所以几何布朗运动的均值函数与方差函数分别：:
E[x(t)]=E[eB(t)]=e1/2
Var[X(t)]=E[X2(t)]-{E[X(t)]}2=E[e2B(t)]-e=e2t-e
分数布朗运动
分数布朗运动是由安德雷·柯尔莫哥洛夫在其文献中引入的。其定义为：令0\u003cH\u003c1，如果随机过程{BtH，t≥0}是高斯过程且其
协方差为E[BtHBsH]=1/2(t2H+s2H-lt-sl2H)，则称其为分数布朗运动。当H=1/2时，分数布朗运动是标准布朗运动。
研究影响
1908年，法国物理学家让·佩兰通过实验证实了阿尔伯特·爱因斯坦对布朗运动的解释。佩兰的实验分为两种，一种是通过测定悬浮粒子浓度随高度的变化规律，从而测定出阿莫迪欧·阿伏伽德罗常数，另一种是通过直接显微镜观察测量粒子的布朗运动，得到其位移数据，统计分析取平均值，从而计算出阿伏加德罗常数，爱因斯坦和佩兰的研究成果，物理学家们最终不得不接受原子和分子存在的事实，而此前即便到了20世纪初，这个问题也依然悬而未决。佩兰在总结他1909年关于这一问题的论文时写道：“我认为从今以后将很难再用合乎逻辑的论证来反对分子学说的观点。”
布朗运动在各个科学领域发挥着重要的作用。由布朗运动理论发展而来的几率平衡方程如福克-马克斯·普朗克方程，克拉默斯方程在物理、化学等学科起着基石的作用。由保罗·朗之万方程发展而来的布朗动力学模拟方法， 则是计算物理中的一种有效的计算机模拟方法。在数学领域，布朗运动又叫维纳过程，其处处不可导的特性引起了一系列相关的数学研究。在电子工程领域，布朗运动理论可用于描述噪声。在金融领域，期权定价模型的本质也是布朗运动理论。
布朗运动就是描述随机现象的基石。美国物理学家施塔赫尔说：“布朗运动的论文也扩大了经典力学概念的应用范围。”
布朗运动不符合经典的热力学第二定律，布朗运动实际上反映了经典物理学“宏观”与“微观”概念的模糊性，也反映了经典物理学的局限。
应用领域
在光学中的应用
分子散射
光在气体、液体中传播遇到尘埃、悬浮粒子等杂质微粒时，部分光线将改变传播方向，也就是光的散射。如果传光介质中具有尺度和波长可比拟，或比波长更小的折射率不均匀区域时，就会发生光的散射，即瑞利散射。纯净的气体和液体由于密度涨落会引起折射率的不均匀，也会引起光的散射。密度涨落产生的散射实际是介质自身分子的热运动引起的，即分子散射。
激光理论研究与应用
布朗运动的朗之万方程也被应用于研究激光。1908年，保罗·朗之万在牛顿第二运动定律的方程中引入随机力作用项，即著名的“朗之万方程”：
其中Mi 为布朗颗粒质量，ri 为位置矢量。等式左边第一项是布朗颗粒受到的其它颗粒或外场的作用力之和；第二项把周围流体分子对布朗颗粒撞击作用等效表示为一个随机作用力；第三项是微粒在流体中运动受到的黏滞阻力，其中i 是颗粒 的阻力系数。激光光场的场模和激活原子的电子遵从耦合的朗之万方程。
在电学中的应用
电子仪器的灵敏度受噪声限制，其中的一种是导体中电子的热运动引起的，这种运动产生的平均电流为零。由于存在涨落，瞬时的电流脉冲导致电阻两端产生瞬时的电压扰动，产生热噪音。热噪音与温度有关，根据布朗运动原理及电学中的LR电路方程，最终可以推算热噪声引起的均方噪声电压。
在金融学中应用
推测股票价格
早在1900年，法国学者LouisBachelier就在他的毕业论文中提出了用数学方法来给风险资产定价的模型，也是他提出了用布朗运动来模拟股价的变化，1965年，在麻省理工学院攻读博士的PaulSamuelson又重新发现了Bachelier的模型，为了克服布朗运动由于存在负值而股价永远为正的问题PaulSamuelson提出了用几何布朗运动来模拟股票价格。
推测财务发生额规律
如果用X(t)表示按单利计算在0年投资1块钱，用t表示收益的对数，在理想的条件下，X(t)可以认为是按趋势为μ和方差为r2的布朗运动。而μ和r都分别各自表示在给定年度各增长率的对数的平均值和差异。另外，增长率的对数在1年，2年直到n年中各自都是独立同分布的，共同发布为正态分布。根据数学模型，在第一个n年中的某一时间投资收益将会降低至一个特殊水平的概率。对人寿保险公司发行的保单，承诺其投资收益不会低于某个确切的数字是很重要的。
布朗运动测温
布朗运动的强度与温度、微粒浓度有关，温度越高，微粒布朗运动越剧烈。据此，Chung等人提出一种基于荧光纳米颗粒布朗运动的三维微流体温度测量技术。荧光纳米颗粒为经酸酸盐修饰的PS塑料球形颗粒（外径0.25μm），均匀悬浮于去离子水中（质量/体积浓度0.02%），纳米颗粒布朗运动强度由颗粒的振荡频率来衡量，颗粒振荡运动轨迹由高分辨率荧光显微镜实时跟踪记录。可实时测量显示微流体内部三维空间温度分布，空间分辨率可达1μm。
参考资料
布朗运动.术语在线.2023-06-30