几何化猜想
几何化猜想是关于三维流形的一个重要猜想，由威廉·瑟斯顿提出。它指出任取一个紧致（可能带边）的三维流形，可以通过一系列操作将其分割成若干具有八种标准几何结构之一的子流形。这些几何结构都是完备的度量张量，具有良好的性质，如体积有限和“直线”可无限延伸。猜想的证明是对二维曲面单值化定理在三维流形上的推广。
内容介绍
威廉·瑟斯顿的几何化猜想指的是，任取一个紧致(可能带边)的三维流形尽量作连通和以使其成为尽可能简单的三维流形的连通和，对于带边流形可能还需要沿着一些圆盘继续切割，有唯一的方法沿着一些环面(如果是带边流形还要加上平环)割开得到尽可能简单的若干小块，这些小块均为八种标准几何结构之一。这些几何结构均为完备的度量张量，这些几何结构在某种意义上是比较“好”的，例如体积有限、“直线”都可无限延伸等等。这八种标准几何结构包括：
1. 标准球面\(S^3\)，具有常曲率+1
2. 欧氏空间\(R^3\)，具有常曲率0
3. 双曲空间\(H^3\)，具有常曲率-1
4. \(S^2 \times R\)，即二维球面与实数直线的乘积
5. \(H^2 \times R\)，即二维双曲空间与实数直线的乘积
6. 特殊线性群\(SL(2, R)\)上左不变度量张量
7. 幂零几何
8. 可解几何
二十世纪八十年代，威廉·瑟斯顿证明了这个猜想对于Haken三维流形是成立的。2003年左右，格里戈里·佩雷尔曼通过引入Ricci流与外围手术的方法，完全证明了几何化猜想。佩雷尔曼的工作不仅解决了几何化猜想，也为解决著名的庞加莱猜想提供了关键性的进展。